visors 2, weil man für Q jedes Vielfache von z nehmen

kann) allenthalben z = ym

a 2 m
ym

fegt, zwey allgemeinę

Gleichungen für Curven, die der Aufgabe ein Genüge thun.

S. 387.

Es sey außer P auch R eine gerade, und außer Q auch S eine ungerade Funktion von x, und dabey die Gleichung für die gesuchten Curven

ད

Diese Bedingung läßt sich aber sehr leicht erfüllen, wenn

man

P+Q y=p=0

P Q

a, oder y =

P+Qu

a

macht. Hierdurch wird auch die Unbequemlichkeit wegges schafft, die vorhin da war, daß zu jeder Abscisse zwey oder. mehr Applicaten gehörten, und solche Curven gefunden, wo jeder Abscisse nicht mehr als eine Applicate zukommt. Die einfachste krumme Linie, die der Aufgabe ein Genüge thut, ist daher eine Linie der zweyten Ordnung, die durch Die Gleichung

ausgedruckt wird, und also eine Hyperbel. Es thut aber die Hyperbel auch der vorhin gefundenen Gleichung y = Q+ √(aa † QQ)

ein Genüge, wenn man Qnx segt, indem dadurch YY 2nxyaa

wird; und es lassen sich daher die Bedingungen der gegens wärtigen Aufgabe auf eine doppelte Art durch die Hyperbel erfüllen.

§. 388.

Dies vorausgesett, so ist deutlich, daß die Gleichung für die gesuchte Curve so beschaffen seyn muß, daß dieselbe keine Veränderung leidet, wenn man darin -X für x,

wenn P cine gerade, und Q eine ungerade Funktion von x bedeutet. Wenn man also eine Gleichung aus einer belies bigen Anzahl solcher Ausdrücke Jusammensegt, so ist solches eine Gleichung für Curven, die der Aufgabe ein Genüge thun. Wenn daher M, P, R, T, 2c. gerade, N, Q, S, V, 2c. hingegen ungerade Funktionen von x bedeuten: so hat man folgende allgemeine Gleichung:

und multiplicirt man dieselbe durch eine ungerade Funktion von x, so gehen die geraden Funktionen von x in ungerade, und die ungeraden in gerade über. Dadurch erhält man folgende Gleichung:

Befreyet man aber diese Gleichungen von den in ihnen vora

kommenden Brüchen, so ergeben sich daraus folgende zur Ordnung n gehörige:

I.

•=anyn Man-Iynti (PQ) tan-2yn+2 (R+S) +

an-3 yn+3 (TV) ic.

tantlyn-1 (PQ)† an+2yn-2 (R—S)†

II.

a+3y4-3 (TV) ¿c.

any "Nan-Iyn+1 (P+Q) Ťan-2yn+2 (R+S) ↑

an-3yn+3 (T† V) 2c.

ant1yn-1 (PQ)-an+2yp-2 (RS)

an+зyn-3 (TV) 2c.

§. 389.

Es kann aber n in den Formeln (yo †

Cyn

1

a 2n

y"

-)Q auch ein Bruch seyn. Seht man daher

für n die Brüche 1, 2, §, 1, 2c., so verschwindet in den auf diese Art entstehenden allgemeinen Gleichungen die Jrs rationalität von selbst. Man erhält nemlich dadurch

und diese Gleichungen erhalten, wenn man sie von den Brüchen befreyet, folgende Form:

。=any+1(P+Q)†an-Iynt2 (R†S)†an-2 yn+ 3 (T‍†V) 2. †àa†1y¤ ̧P−Q) † ao+2уn-1 (R-S)† antзyn-2 (T—V) 2. und

•=ay1+1(P+Q)†an-Iynt2 (R†S) † an−2 yn+ 3 (T†V) 2c. an+1yn(P— Q ̧ — an‡2 yn−1 (R—S) — ant 3 yn− 2 (T† V) 2. -an+2yn-1

S. 390.

Aus diesen vier Gleichungen laffen sich nun die Curven einer jeden Ordnung, die der Aufgabe ein Genüge thun, leicht finden. Zuvörderst gehört dazu aus der ersten Ords nung die gerade Linie, welche der Age AP parallel ist, und durch den Punkt B geht. Für die zweyte Ordnung geben die beyden ersten Gleichungen, wenn man ni segt,

man erhält nemlich diese Gleichung, da die erste keine Curve giebt, aus der zweyten, durch die Substitutionen N = ax; P = 1; und Q=0: die beyden andern aber geben, wenn man ʼn ≈ o macht,

y (a † px) ± a (∞ — Bx) = 0.

Für die dritte Ordnung geben die beyden ersten Gleichun gen, wenn man n = 1 sezt,

➡ay († ẞxx) † ÿy (2 † dx)

die beyden lezten aber, wenn man n = o, und n = 1 sett

Auf eine ähnliche Art lassen sich auch die Curven der übris gen Ordnungen finden, die der Aufgabe ein Genüge thun.