RIVISTA DI MATEMATICA

Principii di Logica Matematica.

iuseppe Nota di G. PEANO.

Già Leibniz (1) enunciò alcune analogie fra le operazioni dell'algebra e quelle della logica. Ma solo in questo secolo, per opera di Boole, Schröder, e altri molti (2), si studiarono queste relazioni, sicchè la logica deduttiva è diventata, come l'algebra ordinaria, la teoria dei quaternioni (3), ecc., una parte del calcolo delle operazioni.

Uno dei risultati più notevoli cui si è giunto si è che, con un numero limitatissimo (7) di segni, si possono esprimere tutte le relazioni logiche immaginabili; sicchè aggiungendovi dei segni per rappresentare gli enti dell'algebra, o della geometria, si possono esprimere tutte le proposizioni di queste scienze (4).

Nella presente Nota espongo sommariamente tali teorie, collo scopo di invogliare il lettore a questo genere di studi interessanti, e di prepararmi uno strumento quasi indispensabile in ricerche successive.

§ 1. Deduzione e congiunzione.

In questo § le lettere a, b,... indicano delle proposizioni qualunque. La scrittura ɑ ɔb significa « dalla a si deduce la b, < › e si può leggere

->

« se è vera la a, è vera la b, ovvero altre forme (5).

‹ se a, allora b, » e anche sotto

La scrittura ab significa che le proposizioni a e b sono equivalenti, ossia che dalla prima si deduce la seconda, e viceversa.

L'affermazione simultanea di più proposizioni a, b, c,... si indicherà scrivendole l'una dopo l'altra abc... Questa affermazione simultanea chiamasi congiunzione o moltiplicazione logica. Si ha:

Queste identità esprimono le proprietà commutativa e associativa della moltiplicazione logica, analoghe a quelle della moltiplicazione algebrica. 3. aa = a.

Questa identità non ha l'analoga in algebra (6).

Per separare le varie proposizioni fra loro potremmo servirci delle parentesi come in algebra. Si arriva allo stesso risultato con maggior semplicità, e senza produrre equivoci colle parentesi nelle formole algebriche, con una conveniente punteggiatura. I segni di punteggiatura

sono

... ecc. Per leggere una formola divisa coi punti, prima

si uniranno tutti i segni non separati da alcun punto, poi quelli da 1, poi quelli da 2, e così via (7).

‹ Due proposizioni a e b sono equivalenti quando dalla prima si deduce la seconda e viceversa. »

Le formole seguenti rappresentano varie specie di sillogismi :

Queste formole dicono che ai due membri d'una deduzione o d'una eguaglianza logica si può congiungere una stessa proposizione; e che due deduzioni o due eguaglianze si possono congiungere fra loro membro a membro.

I nomi che adoperiamo rappresentano ora individui (nomi proprii)

come 1,

2, √2,...; ed ora delle classi (nomi comuni od aggettivi)

3 4'

come numero, poligono, equilatero, ecc.

La scrittura ab, ove a e b siano individui, indica la loro identità, ovvero che a e b sono due nomi dati ad uno stesso individuo. Se a e b

sono classi, quella scrittura indica che le due classi coincidono, ossia che ogni a è b, e viceversa. Già si è spiegato il significato di quella scrittura se a e b sono proposizioni.

Per indicare la proposizione singolare x è un individuo della classes

scriveremo (8)

e il segno e si potrà leggere è, o è un, o fu, o sarà, a seconda delle regole grammaticali; però il suo significato è sempre quello spiegato. Per brevità scriveremo x, y, ze s per indicare che x, y, z sono degli s, ossia

Per indicare la proposizione universale‹ ogni a è b, ogni a è b, ossia la classe a è contenuta nella b scriveremo ao b. Quindi il segno o si leggerà diversamente (si deduce, o è contenuto) secondochè sta fra due proposizioni o fra due classi; però le sue proprietà sono le stesse in ambi i casi.

Essendo a e b due classi, con ab indicheremo l'insieme degli enti che sono ad un tempo a e b, cioè la massima classe contenuta in a e in b. Analogamente per abc ecc. Però, se havvi pericolo d'equivoco, si scriverà amb e anboc al posto di ab e di abc.

Sussistono tutte le formole del § precedente, quando a, b,... rappresentano delle classi.

Per esercizio, si possono trasformare in linguaggio ordinario le proposizioni:

5=2+3; 5 ε (numero primo); 4 = (massimo comun divisore di 8 e 12); 4 ‹ (divisore di 12); (triangolo) ɔ (poligono); (triangolo equiangolo) (triangolo equilatero); (multiplo di 6) = (multiplo di 2)~(multiplo di 3);

=

e in simboli le proposizioni:

i multipli di 6 sono numeri pari; il cubo di 2 è 8; i numeri pari sono i multipli di 2; fra i numeri cubi è contenuto il 27.

I segni introdotti &,, o permettono già di esprimere un grande numero di relazioni logiche. Quindi, introdotti dei simboli per indicare gli individni, le classi, le operazioni e le relazioni d'una scienza, siamo già in grado di enunciarne completamente delle proposizioni. Prenderemo ad esempio l'algebra, ove già sonvi i simboli 1, 2,... per rappresentarne gli individui, +, -, X, ecc. per le operazioni, >, <,=,... per le

relazioni, e introdurremo dei segni per rappresentare le classi che più spesso si presentano. Scriveremo:

< numero reale positivo o quantità positiva ›

« numero o quantità reale, › che diremo numero

senz'altro.

Il vantaggio di questi simbolí non sta solo nella brevità, ma anche nel loro significato esatto, e nel poterli introdurre nelle formole. Si ha:

1. a, bɛ q. ɔ. ɑ+bɛq.

‹ Se a e b sono due quantità, anche a+b è una quantità determinata. ›

◄ Essendo a e b due quantità, di cui la seconda non nulla,

presenta una quantità determinata e finita. ›

3. a, bεq. o. abba.

Indicando con a, b due numeri, si ha ecc. »

4. m, nε N. aɛq: ɔ. am+n

am an

‹ Chiamando m ed n due numeri interi e positivi, ed a un numero reale, si ha ecc. ›

‹ Essendo med n due numeri reali, ed a un numero positivo, si

ha ecc. >

In modo analogo si enunciano tutte le identità dell'algebra. 6. a, b, cε q. a <b: ɔ. a + c <b+c

Analogamente si enunciano le deduzioni da una relazione ad un'altra.

8. a, b, x, yɛq. D.'.x+y а. х y=b: : 2 x =

2 y =α b

Essendo a, b, x, y dei numeri, il sistema di equazioni

x + y =

è equivalente al sistema.

= α e x y b

2x=a+b, 2y-a-b. »

a+b.

Essendo x, y dei numeri (reali), x2+ y2 è nullo quando e solo quando si annullano ad un tempo xe y. ›

In modo analogo si esprimono le relazioni fra equazioni e proposizioni.

Essendo a una proposizione, con - a intendiamo la negazione della a. Se a, b, c, rappresentano proposizioni, si ha:

= a « Due negazioni fanno una affermazione. >

La proposizione: da a si deduce b, è equivalente alla: da non b si deduce non a. ›

Per comodità di scrittura alcuna volta invece di scrivere il segno davanti a tutta la proposizione, lo scriveremo davanti al segno di relazione & ε,

ecc.:

· (x ε 8).
Ε

Essendo a, b proposizioni, con ab indicheremo l'affermazione della verità di una almeno delle a e b; cioè o è vera la a, o è vera la b. L'operazione ehiamasi anche addizione logica. Si ha:

6.- (ab) = (-a)~(-b)

« Negare che siano vere ad un tempo la a e la b vale affermare che o non è vera la a o non è vera la b, › ossia la negazione d'un prodotto è la somma delle negazioni dei fattori. ›

<

Negare che una almeno delle a e b sia vera vale affermare che la a e la b sono amendue false, » ossia la negazione d'una somma è il prodotto delle negazioni dei termini. »

Si ha:

8. a~b=ba; a ~ (bc) = (a~b)~c=abc; a~a=a, le quali formole esprimono le proprietà commutativa e associativa dell'addizione logica, analoghe a quelle viste al § 1.

9. a(bc) = abac,

che esprime la proprietà distributiva della moltiplicazione logica rispetto all'addizione, analoga alla algebrica a(b+c) Esempi. Si ha:

ab + ac.