spazio rigato; poli e polari, figure polari reciproche; principî generali di omografia e di dualità,, pagine 58. — IV. * Elementi di geometria differenziale pagine 55. Non è possibile in questo breve cenno bibliografico entrare in un minuto esame per far rilevare tutta l'importanza delle molte e belle teorie esposte; non vogliamo però tralasciare di segnalare una nuova e notevole formola, la (47), (49), (§ 133) dell'angolo di torsione in un punto qualsivoglia di una curva gobba espresso con la somma dei quadrati di tre determinanti di terzo ordine composti così che due qualunque di essi deduconsi dal rimanente con semplici sostituzioni circolari degli indici; da cui poi deriva anche la facilità colla quale la formola può essere sviluppata.

Il metodo seguito dal nostro autore è informativo. Da ciò deriva il grande diletto, che prova nel leggerlo, chi già ha qualche conoscenza della materia. Ai principianti poi, purchè forniti di sufficiente preparazione, lo studio di questa notevole opera riesce eminentemente suggestivo in quanto che l'incita a fare una infinità di sviluppi per verificare tutt'i risultati che vi sono indicati.

L'opera appare lungamente meditata per il modo magistrale, nuovo, originale con cui è esposta e raggruppata la materia. L'uso fatto di alcune notazioni se al bel principio possono indurre a far credere che siano di nocumento alla chiarezza, se per poco si mediteranno si riconosceranno non solo opportune, ma anche assai giovevoli a meglio scolpire nella mente del lettore le formole e le relazioni date, fornendo nel contempo un modo semplice per ricavarle l'una dall'altra. In breve, i due libri, che qui abbiamo voluto segnalare all'attenzione dei lettori, costituiscono un ottimo saggio di una nuova geometria analitica a coordinate trilineari e tetraedriche ch'è poi il migliore, forse l'unico, libro che possa proporsi come guida a chi deve iniziare i suoi studi nella nuova geometria analitica.

G. Russo.

GRASSI NICOLA. - I problemi di geometria e disegno lineare per l'ammissione alla R. Scuola macchinisti di Venezia. Livorno, Belforte, 1908. L. 3.

Questo volumetto, destinato ai giovani che concorrono alla R. Scuola macchinisti, si compone di tre capitoli. Il primo, brevissimo, contiene le generalità sui luoghi e sui problemi geometrici. Il secondo contiene la risoluzione di 41 problemi elementari che sono enunciati nel programma per il concorso suddetto. Il terzo è dedicato ad altri problemi enunciati nel programma del disegno lineare, e si suddivide in 11 paragrafi dei quali riproduciamo i titoli.

I. Le scale del disegno. II. Divisione di un segmento in parti proporzionali a segmenti ed a numeri dati. III. Disegno in una data scala di una figura f simile ad una data figura F mediante le coordinate rispetto a due assi ortogonali. IV. L'ellisse. V. L'iperbole. VI. La parabola. VII. Rettificazione approssimata di una circonferenza o di un arco di curva qualunque. VIII. Cicloide, epicicloide, ipocicloide. IX. Divisione delle circonferenze in parti eguali. X. Poligoni regolari convessi e regolari. XI. Raccordamento delle linee.

Il libro è certamente molto utile ai giovani che vogliono prender parte al concorso per la R. Scuola di Venezia, offrendo loro un mezzo facile e piano per acquistare in poco tempo le cognizioni che il programma richiede.

GIULIO LAZZERI Direttore-responsabile

Finito di stampare il 16 Dicembre 1908

LIBRI ED OPUSCOLI RICEVUTI DALLA DIREZIONE

ALMANSI.

Intorno alla flessione dei solidi prismatici, (Rendiconti del R. Istituto Lombardo di scienze e lettere, 1908.)

BERTINI.

Sulle serie segnate sopra una curva iperspaziale dalle sue ipersuperficie aggiunte e da tutte le ipersuperficie dell'iperspazio. (R. Accademia delle scienze di Torino, 1908-1909.)

CAMINATI.

Saggio di lezioni nuove di Geometria piana elementare esposta con sistema didattico nuovo fondato sul teorema della somma degli angoli di ogni triangolo dimostrato indipendentemente dal Postulato V di Euclide e dalla teoria delle rette parallele. Parma, Zerbini, 1908.

D'AMICO.

Sull'estrazione della radice n-esima di un numero qualunque. (Bollettino di matematica, 1908.)

GAMBIOLI. Aritmetica elementare per le scuole medie inferiori con numerosi esercizi di calcolo mentale e scritto. Roma-Milano, Società editrice" Dante Alighieri,, 1909.

JUHEL-RÉNOY.

Théorie et applications des équations du second degré à l'usage des élèves de seconde et prémière C et D et de Mathématiques A et B. Paris, Vuibert et Nony, 1909.

KRAZER. Zur geschichte des umkehrproblems der integrale. Festrede bei dem feierlichen Akte des Ratswechsels an der Grossherzoglichen Technischen Hochschule Friedericiana zu Karlsruhe am 18 Novembre 1908 gehalten von den Rektor des Jahres, 1908-909.

MACH.

I principi della Meccanica esposti criticamente e storicamente nel loro sviluppo. Traduzione di D. Gambioli, con prefazione di G. Vailati. RomaMilano, Società editrice Dante Alighieri,, 1909.

MARCHESE.

Un caso particolare del problema della scoperta a mare. (Rivista marittima, 1908.)

MASSARINI.

I venti a Roma. (Annali del R. Ufficio centrale di Meteorologia e Geodinamica. Vol. XXVII, parte I, 1908.)

Sugli spazi normali delle varietà algebriche. (Atti del R. Ist. Veneto di scienze, lettere ed arti, 1908-909.)

SCORZA. Un problema sui sistemi lineari di curve appartenenti a una superficie algebrica. (Rendiconti del R. Ist. Lombardo di scienze e lettere, 1908.)

Sulle varietà a quattro dimensioni di S. (r9) i cui S. tangenti si tagliano

a due a due. (Rendiconti del Circolo matematico di Palermo, 1909.)

Le varietà a curve sezioni ellittiche. (Annali di Mat. pura ed applicata, 1908.) VERONESE. Elementi di Geometria ad uso dei ginnasi e licei e istituti tecnici (1o biennio), trattati con la collaborazione del prof. Paolo Gazzaniga. Parte I. Ediz. IV. Padova, Drucker, 1909.

La Geometria non archimedea. (Atti del IV Congresso internazionale dei matematici. Roma, 1909.)

Komplex-Simbolik. (Sammlung Schubert LVII). Leipzig, Gö

Speziielle ebene Kurven. (Sammlug Schubert LVI). Leipzig, Gö

Divido questa Nota in due paragrafi; nel 2o dò la formula in questione e in questo riassumo, come inevitabile premessa, le definizioni e i risultati di tre miei precedenti lavori che in ordine di data di pubblicazione indicherò rispettivamente con (V), (R), (E). (1)

Normale è detto un tetraedro con tre diedri retti due dei quali fra loro opposti; dei tre diedri variabili di un tetraedro normale i due opposti diconsi laterali e il terzo medio. In (V) invece di normale ho adoperata la denominazione meno appropriata di elementare usata da Liebmann [(R) pag. 40].

Binormale dicesi un tetraedro normale di cui anche il diedro medio è retto; vale a dire, il tetraedro è binormale se ha due coppie di diedri retti opposti; segue facilmente che gli spigoli laterali di un tetraedro binormale sono reciproci-assoluti [(R), pag. 41].

Asintotico è detto un angolo, un angoloide, un poligono, un poliedro se ha un (o il) vertice sull'assoluto cioè all'infinito. In un triedro asintotico la somma dei diedri è . Un tetraedro può essere fino a quattro volte asintotico; ma un tetraedro normale non può essere più di due volte asintotico, perchè in due dei suoi vertici cadono degli angoli retti.

Elementare si dirà qui il tetraedro normale due volte asintotico; esso ha i diedri laterali uguali fra loro e complementari del medio, sicchè è determinato da uno dei suoi diedri variabili.

Sia P. (2) il volume di un tetraedro elementare di diedro laterale z reale o complesso; allora se si determina la funzione polidroma

1
log 2 sen z
2i

(1) (V) richiamerà la Nota Sul volume dei poliedri nell'ipotesi non euclidea Atti della Società dei Matematici e Naturalisti di Modena. Serie IV, Vol. IX, 12 marzo 1907.

(R) richiamerà la Memoria " Ricerche di estensionimetria negli spazi metrico-proiettivi R. Accademia di Scienze, Lettere ed Arti di Modena. Serie III, Vol. VIII. Appendice: data di pubblicazione degli estratti: dicembre 1907.

(E) richiamerà la Nota Sopra alcuni punti della estensionimetria non euclidea,. R. Accademia delle Scienze di Torino. Vol. XLIII, 14 giugno 1908.

(2) Secondo la notazione di Lobatschewski; io in (V), quando non conoscevo ancora i contributi di Lobatschewski in materia, ho usata la notazione Tz.

e si indica con K la curvatura costante dello spazio, (') si ha [(R)]

Se il piano complesso [z] viene tagliato lungo l'asse reale eccet1 tuando il tratto finito fra z=0 e z=, la funzione log 2 sen z 2i

diviene monodroma, ed io ho dimostrato [(E)] che in tale ipotesi, se con & si indica± 1 secondochè z cade nel semipiano complesso positivo o nel negativo, sussiste il seguente sviluppo in serie:

(1) Un concetto elementare della curvatura risulta dalle seguenti considerazioni: Una linea piana L tutta a distanza finita, sciolta, chiusa e bilatera divide il piano in due regioni, una ed una sola delle quali (l'interna) ha la proprietà che ogni retta che passa per uno dei suoi punti attraversa L due o più volte. Ad una retta mobile che inviluppi L si dia per direzione positiva quella del verso in cui essa descrive L e si chiami ampiezza angolare di L la somma algebrica delle ampiezze degli angoli descritti successivamente dalla direzione positiva dell'inviluppante prendendole positive o negative secondo chè gli angoli stessi sono descritti procedendo verso l'interno o angolo piatto verso l'esterno di L e intendendo che l'unità di misura delle ampiezze angolari sia Allora si dimostra [(R)] che l'ampiezza angolare di L è sempre positiva e che inoltre, detta a tale ampiezza, si ha a 27 secondochè vale la geometria ellittica, la parabolica o l'iperbolica. Di più si prova che l'area A racchiusa da L nell'ipotesi non euclidea è proporzionale a 2л a; sicchè, se Kè un numero fisso reale positivo, nullo o negativo secondochè vale la geometria ellittica, 27 – α parabolica o iperbolica e del resto arbitrario, si potrà prendere A Tale K dicesi la K curvatura dello spazio; se poi la quantità 27-a si chiama l'ampiezza estensiva di A, si potrà dire che: la curvatura è l'ampiezza estensiva dell'area piana che si è presa per unità di misura. Nell'ipotesi ellittica sia q = quot (K, 2.7), r = rest (K, 27); allora sarà: Unità di area q volte l'intero piano parte propria o nulla dell'intero piano di ampiezza estensiva r; infatti [(R)]: 27 ampiezza estensiva dell'intero piano, quando il piano è, come deve supporsi (vedi G. FANO, Lezioni di geometria non euclidea, pag. 203. Roma, 1898. Litografia di L. Cippitelli, Via Croce Bianca, n. 10), una superficie unilatera.

=

Fissata a piacere l'unità di area (cioè K) restano determinate poi l'unità di lunghezza e di volume dalla condizione che un quadrato e un cubo infinitesimo siano misurati dalla seconda e dalla terza potenza del lato rispettivamente. Se L, A, V sono le misure di una lunghezza, di un'area e di un volume (rispettivamente) e si pone 'L = LK1‚ 'A =AK, ·V = VK, le 'L, 'A, V (che ho chiamate in (R) ampiezza estensiva di L, A, V) sono quantità immaginarie o reali di segno determinato come K, K, Krispettivamente, indipendenti da K, note le quali e data K, si ha L=

'A