Carl Friedrich Gauss Werke ... (Google eBook)

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Gedruckt in der Deiterichschen Universitätsdruckerei (W.F. Kaestner), 1863 - Astronomy
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Popular passages

Page 204 - Offenbar muss aber dabei postulirt werden, dass die Einheit i allemal den Uebergang von einem gegebenen Gliede einer Reihe zu einem bestimmten Gliede der unmittelbar angrenzenden Reihe bezeichne. Auf diese Weise wird also das System auf eine doppelte Art in Reihen von Reihen geordnet werden können. — Der Mathematiker abstrahirt gänzlich von der Beschaffenheit der Gegenstände und dem Inhalt ihrer Relationen; er hat es blos mit der...
Page 206 - Frage, warum die Relationen zwischen Dingen, die eine Mannigfaltigkeit von mehr als zwei Dimensionen darbieten, nicht noch andere in der allgemeinen Arithmetik zulässige Arten von Größen liefern können, ihre Beantwortung finden "wird.
Page 203 - Positive und negative Zahlen können nur da eine Anwendung finden, wo das Gezählte ein Entgegengesetztes hat, was mit ihm vereinigt gedacht der Vernichtung gleich zu stellen ist.
Page 202 - Reihe als in einer unbegrenzten Ebene befindlich angesehen und parallel mit ihr auf beiden Seiten eine unbeschränkte Anzahl ähnlicher Reihen in gleichen Abständen von einander angenommen werde, so dass wir anstatt einer Reihe von...
Page 204 - C usw gleich betrachtet werden kann. Hier gehört nun zu dem Begriff der Entgegensetzung nichts weiter, als der Umtausch der Glieder der Relation, so dass, wenn die Relation (oder der Uebergang) von A zu B als + l gilt, die Relation von B zu A durch — l dargestellt werden muss.
Page 202 - Anfangspunct die Zahl 0, der nächste die Zahl l usw vertritt; und so wie dann zur Darstellung der negativen Zahlen nur eine unbegrenzte Verlängerung dieser Reihe auf der entgegengesetzten Seite des...
Page 205 - Dieser Unterschied zwischen rechts und links ist, sobald man vorwärts und rückwärts in der Ebene und oben und unten in Beziehung auf die beiden Seiten der Ebene einmal (nach Gefallen) festgesetzt hat, in sich völlig bestimmt, wenn wir gleich unsere Anschauung dieses Unterschiedes andern nur durch Nachweisung an wirklich vorhandenen materiellen Dingen mitteilen können.
Page 203 - Allein so wenig man in der allgemeinen Arithmetik Bedenken hat, die gebrochenen Zahlen mit aufzunehmen, obgleich es so viele zählbare Dinge giebt, wobei eine Bruchzahl ohne Sinn ist, eben so wenig durften in jener den negativen Zahlen gleiche Rechte mit den positiven deshalb versagt werden, weil unzählige Dinge kein Entgegengesetztes zulassen: die Realität der negativen Zahlen ist hinreichend gerechtfertigt, da sie in unzähligen . anderen Fällen ein adäquates Substrat finden.
Page 204 - A durch — l dargestellt werden muss. Insofern also eine solche Reihe auf beiden Seiten unbegrenzt ist, repräsentirt jede reelle ganze Zahl die Relation eines beliebig als Anfang gewählten Gliedes, zu einem bestimmten Gliede der Reihe. Sind aber die Gegenstände von solcher Art, dass sie nicht in Eine, wenn gleich unbegrenzte Reihe geordnet werden können, sondern sich nur in Reihen von Reihen ordnen lassen, oder, was dasselbe ist, bilden sie eine...
Page 205 - Beide Bemerkungen hat schon Kant gemacht, aber man begreift nicht, wie »dieser scharfsinnige Philosoph in der ersteren einen Beweis für seine Meinung, »dass der Raum nur Form unserer äusseren Anschauung sei, zu finden glauben »konnte, da die zweite so klar das Gegentheil, und dass der Raum unabhängig »von unserer Anschauungsart eine reelle Bedeutung haben muss, beweiset«*).

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