non encore réunis dans une théorie générale; nous retrouverons également les systèmes de vis de Ball, .comme une conséquence de la géométrie des complexes linéaires et non plus comme un résultat des lois de composition des mouvements; enfin nous rencontrerons quelques théorèmes nouveaux.

§ 1. Application de la géométrie des complexes

linéaires à l'étude des mouvements infiniment petits

d'un corps solide qui possède n degrés de liberté.

De même que l'on peut considérer l'espace comme formé de points ou comme formé de plans (et dans ce cas les formes linéaires fondamentales sont le plan, la droite ou intersection de deux plans, le point ou intersection de trois plans), de même on peut considérer l'espace réglé comme formé de droites ou comme formé de complexes linéaires; dans ce cas les formes linéaires fondamentales sont:

Le complexe linéaire,

La congruence linéaire (ou intersection de 2 complexes linéaires).

L'hyperboloïde réglé (ou intersection de trois complexes linéaires).

Le couple de droites (ou intersection de 4 complexes linéaires).

Remarquons d'abord qu'il faut deux droites pour déterminer un couple de droites, trois droites pour déterminer un hyperboloïde, quatre droites pour une congruence linéaire et cinq droites pour un complexe linéaire.

Mais on peut dire aussi qu'un complexe linéaire est déterminé par son axe et par son paramètre, c'est-àdire par une droite affectée d'un cœfflcient numérique (droite cotée), qu'une congruence linéaire est déterminée par le couple de droites qui constitue ses lignes focales, et qu'un hyperboloïde réglé dans un sens est déterminé par le même hyperboloïde réglé dans l'autre sens. Il existe donc entre les différentes formes de l'espace réglé une correspondance par dualité analogue à celle qui existe entre les différentes formes linéaires de l'espace ponctuel.

C'est ainsi que:

Une droite (cotée) correspondra au complexe linéaire.

Un couple de droites correspondra à la congruence linéaire.

Un hyperboloïde correspondra à un hyperboloïde.

Une congruence linéaire correspondra à un couple de droites.

Un complexe linéaire correspondra à une droite (cotée).

Tout mouvement infiniment petit d'un corps solide est un mouvement hélicoïdal; si A est l'axe du mouvement et pa le pas réduit des hélices décrites par les différents points du corps, nous dirons que la droite A affectée du coefficient pa est un axe coté.

Considérons maintenant un corps mobile dont le mouvement à un instant donné est défini par un axe coté A ; toute droite B entraînée avec ce corps sera affectée d'une cotepg qui servira à caractériser son propre mouvement et qui sera définie par la relation:

Pa + Pp = P p étant égal au paramètre du complexe linéaire qui a pour axe A et qui passe par la droite B (en d'autres motsp = d tang. 0, d étant la plus courte distance et O l'angle des droites A et B).

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Il est évident que toutes les droites du corps mobile qui ont la même cote forment un complexe linéaire ayant pour axe A, car si pg est constant, p est aussi constant.

La relation qui sert à déflnir la cote d'une droite B par rapport à un axe A est symétrique, c'est à-dire que si le corps mobile subissait un mouvement de vis de pas Po autour de la droite B prise comme axe, la droite A supposée entraînée aurait une cote égale à pa .

Signification des cotes nulles: Lorsqu'un axe coté A est affecté d'une cote nulle (p«. = 0), le pas réduit d'un mouvement autour de A est nul, c'est-à-dire que l'axe A est un axe de rotation' compatible avec les liaisons.

Lorsqu'une droite entraînée B est affectée d'une cote nulle (pp = 0), on a pœ = p = d tang. 0, c'est-à-dire que le pied de la perpendiculaire commune aux droites A et B décrit un élément d'hélice normal à la droite B; mais lorsqu'une droite est normale au déplacement d'un de ses points, elle est normale au déplacement de tous ses points, donc toutes les droites B qui ont une cote nulle sont des droites normales aux trajectoires de leurs points.

Puisque les droites de même cote forment toujours un complexe linéaire, on voit que les droites nulles. c'est-à-dire les droites normales aux trajectoires de leurs points forment un complexe linéaire, dont l'axe est A et dont le paramètre est égal à pa .

1 Le mot rotation est employé ici dans son sens ordinaire. D'ailleurs, dans tout ce paragraphe, il ne s'agit que de mouvements infiniments petits, et il ne peut y avoir qu'une espèce Je rotation infiniment petite.

Des différents degrés de liberté: Un corps solide possède n degrés de liberté lorsqu'il est susceptible de n mouvements indépendants à partir d'une position donnée. Tout mouvement résultant d'une combinaison de ces mouvements indépendants est un mouvement compatible avec les liaisons.

Théorème fondamental: Lorsqu'un corps possède n degrés de liberté, toute droite B dont la cote est nulle pour chacun des n mouvements indépendants qui définissent la liberté du corps, aura aussi une cote nulle pour tout autre mouvement compatible avec les liaisons, car dans tout mouvement résultant de plusieurs mouvements composants, l'élément de trajectoire décrit par un point de la droite B sera la résultante des éléments décrits par ce même point dans les mouvements composants ; or tous les éléments composants sont normaux à la droite B puisque par hypothèse cette droite a une cote .nulle dans tous les mouvements composants, donc l'élément résultant sera aussi normal à B, c'est-à-dire que B aura une cote nulle pour tout mouvement résultant.

Puisque les droites d'un corps qui ont une cote nulle forment un complexe linéaire pour chaque mouvement indépendant, les droites qui sont nulles pour n mouvements indépendants sont les droites communes à n complexes linéaires et ces droites seront aussi nulles pour tout mouvement résultant. On en déduit les propositions suivantes:

Les droites normales aux trajectoires de leurs points forment un complexe linéaire lorsque le corps possède un degré de liberté ; une congruenee linéaire lorsqu'il en possède deux (théorème de Schœnemann-Mannheim); un hyperboloïde lorsqu'il en possède trois; un couple de droites lorsqu'il en possède quatre; enfin si le corps possède cinq degrés de liberté, il n'y a pas en général de droite nulle, mais dans ce cas il existe une droite unique à cote remarquable dont nous parlerons plus loin.

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On voit que lorsqu'un corps possède plus de deux degrés de liberté, il n'y a plus que certains points du corps qui sont astreints à décrire des éléments de surface.

Si l'on appelle mouvement à n paramètres l'ensemble des mouvements dont est susceptible un corps solide qui possède n degrés de liberté, on peut dire que: tout mouvement à un paramètre peut être défini en assujettissant cinq points du corps à décrire respectivement cinq surfaces fixes données (pour chaque position du corps les cinq normales aux cinq surfaces déterminent le complexe linéaire des droites nulles); tout mouvement à deux paramètres peut être défini en assujettissant quatre points du corps à décrire quatre surfaces données (les quatre normales aux quatre surfaces déterminent la congruenee linéaire des droites nulles) ; tout mouvement infiniment petit à trois paramètres peut être défini en assujettissant trois points du corps, convenablement choisis, à décrire trois éléments de surface donnés (les trois normales aux trois éléments de surface déterminent l'hyperbolo'ide des droites nulles); tout mouvement infiniment petit à quatre paramètres peut être défini en assujettissant deux points du corps,

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