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ör öVdr dx* dx* dt

d*ri

Nun sind aber bekanntlich die Biegungsbeschleunigungen

, Ö(S ,,. ,. _ .. . ö87? , ö*g Öf f

und , , klein gegen die Beschleunigungen —p und -^-j- und da

Kjx Gt ÖL öv

her werden jene auch in der Elasticitätrtheorie stets gegen diese vernachlässigt. Auch wir wollen hier diese Vernachlässigung einführen und damit erhalten unsere Gleichungen (21a) die einfachere Form

(21b) <

Dies sind also die vereinfachten Differentialgleichungen unseres Problems und wir gehen jetzt dazu über, sie zu integrieren.

II.

Die Integration der Differentialgleichungen und die Einführung der Grenzbedingungen.

8. Die Integration der Differentialgleichungen
der Bewegung.

Um zu einer Integration der Gleichungen (21b) gelangen zu können, ist es notwendig, zunächst die Variabelen zu trennen. Dies geschieht hier in sehr einfacher Weise durch Differentiation und Einsetzen. "Wir erhalten

da? dx" dx'df

(23) \ +{1?-2FC)^-2AD^ + A>*1+2FD^

+ (G*-2AF)^- + F>r3 = 0

und ebenso für £.

Nun hat schon Poissonx) gezeigt, dass sich das allgemeine Integral einer linearen partiellen Differentialgleichung zweier unabhängiger Variabein durch eine unendliche Reihe mit unendlich vielen willkürlichen Konstanten At darstellen lässt

u und & sind natürlich von einander abhängig und diese Abhängigkeit drückt sich durch die Gleichung

C2 & - 2 D C »' + 2 A C «* + (D* - 2 F Q) 9* - 2 A D & «* + A1 «4 + 2FD&* + (G%-2AF)<f + Fi = 0

aus.

1) Poisson, Trftit,S de mdcanique. Tome 2. II. Ed. 1833.

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Setzen wir diese Werte in (24) ein, so erkennen wir, dass Ä, und ,2?, den beiden Gleichungen

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9. Die Bestimmung der Funktion /"(#).

Zur Bestimmung von f(x) substituieren wir die Werte von (25a) in die 2. Gleichung (21b), und erhalten mit (26) und (26a)

dlf d*f

Dieser Gleichung muss f(x) genügen. Ihr Integral ist
f(x) = A[' e^x + A[' e~V,x + B[' e^x + B'j e~v*x,

wobei

?m V 2G ~ v 4CS + C

ist.

Die weitere Bestimmung der Konstanten At bis D2, A[ bis D2, ergiebt sich durch Einführung der Grenzbedingungen (22). Es sind für je 8 Konstante 8 Gleichungen vorhanden. Indessen ist hier zu beachten, dass diese Gleichungen stets homogen sein werden, so dass also ihre Coefficientendeterminante verschwinden muss. Setzt man nun diese Determinante gleich Null, so hat man damit eine Gleichung, der « genügen muss. Diese Gleichung liefert uns die Werte von a, nach denen die unendlichen Reihen (25a) fortschreiten.

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