mension der Arbeit. Es ist in der That nach dem Princip der Erhaltung der Energie 1/2 mvi=Fs, wo die Arbeit Fs die der kinetischen Energie gleichwerthige potentielle Energie (oder Energie der Lage) ausdrückt.

Beispiel 1. Wie gross ist die kinetische Energie der Kugel und des Geschützes in 16, Beisp. 1?

Die Energie der Kugel ist

\ x 10 000 x (45 000)2 = 10125 x io9 Erg, die des Geschützes

£x6xio5(75o)*=:i6875 x 10' Erg.

Beispiel 2. Ein Eisenbahnzug hat die Masse m Gramm und die Geschwindigkeit iooocmsec"1. Bis zu welcher Entfernung und wie lange wird er nach Ablassen des Dampfes weiterroHen, wenn die gesammten Widerstände den 1/200 Teil des Gewichtes des Zuges betragen?

Die kinetische Energie des Zuges ist \ m x (1000)2 Erg.

Das Gewicht des Zuges ist »1x981 Dyne, folglich be«xo81

tragen die Widerstände Dyne, und deren Arbeit

200

auf dem fraglichen Wege s ist m>< ^1 x f. £rg_

200

Aus der Gleichung

1 / \s w x 981 X5

& m x (1 000 r =

"200

findet man 5 = 101 936 cm = 1-019 Km.

Die Zeit des Weiterrollens findet man nach t = v\y,

981

worin v 1 000 cm sec *, Y = zu setzen ist;

200

t— 203-8 sec. 3 min 23 sec. Beispiel j. Man löse die vorige Aufgabe mit Hilfe der Gleichheit der Bewegungsquantität und des Zeiteffektes. Es ist in die Gleichung Ft =mv zu setzen: w x 981

F— 1 Dyne, »=1000 cmsec 1,

200

alsdann findet man aus derselben

200 000

t = = 20V8 sec:

981 ö

der in dieser Zeit zurückgelegte Weg wird sein

5 = £ yt2 = Ioi 863 cm = I-0i86 Km.

Beispiel 4. Mit einem Hammer von der Masse 1 000 g schlägt man mit der Geschwindigkeit 1200 cm sec"1 auf einen in Holz eingetriebenen Keil, demzufolge dieser um i-2 cm vordringt. Mit welcher Masse m müsste man den Keil belasten, damit diese durch ihren Druck dieselbe Wirkung ausübe?

Die kinetische Energie des Hammers ist

\ x 1000 x (1200)2 = 72 x 107 Erg.

Das Gewicht der fraglichen Masse ist «X981 Dyne, welche Kraft die Arbeit »2x981 x1-2 Erg leistet.

Gesetzt, dass die kinetische Energie des Hammers sich ohne Verlust in Arbeit verwandelt, so hat man die Gleichung

72 x ro' = ffl x 981 x 1-2,

und hieraus m 611620 g, oder nahezu das 600-fache der Masse des Hammers.

Beispiel 5. Man berechne den Effekt eines Wasserfalles, in welchem 240 m3 Wasser per Minute mit der Geschwindigkeit 5 m sec-1 herabstürzt.

Die Masse des Wassers ist 240 x 106 g, die Geschwindigkeit 500 cm sec"1 also der Effekt

\ x 240 x io6 x (500)2 Erg

60 sec

= 5 x 1011 Sekundenerg,

und da 1 Sekundenerg = 1-36 x 10 10 Pferdekraft (18), so ist der Effekt

5 x io11 x 1-36 x 10" 10 = 68 Pferdekraft.

Beispiel 6. Man berechne den Effekt eines Bergsteigers von der Körpermasse 70Kg, der in 3-5 Stunde 1250m steigt.

Das Gewicht des Bergsteigers ist 70000x981 Dyne, seine Arbeit 70000 X981 x 125000 Erg, sein Effekt

70000x081 x 125000 . Erg

-— = 6812 X IO5 -1

3-5 x 60 x 60 sec

oder 6812 x io5 x 1-36 x io-10 = 0-093 Pferdekraft.

20. Statisches Moment oder Drehungsmoment heisst das Produkt aus einer Kraft und aus ihrer kürzesten Entfernung von der Drehachse; die entsprechende Dimension ist Lmt~2xl = L2mt~2, also gleich der Dimension der lebendigen Kraft.

Im C.G.S.-System ist die Einheit des statischen Moments das Moment einer Dyne in der Entfernung 1 cm von der Drehachse.

Beispiel. Die Länge eines homogenen prismatischen Hebels sei 50 cm, seine Masse 1000 g, und an seinen Endpunkten hängen die Massen 1 200 g und 600 g. Wo liegt der Unterstützungspunkt im Gleichgewichtsfalle?

Die hier in Betracht kommenden Kräfte sind 1000 xg, 1200 xg und 600 xg Dyne. Bezeichnet x die Entfernung des Unterstützungspunktes vom Schwerpunkte des Hebels, so haben die Kräfte der Reihe nach die Entfernungen vom Drehungspunkte x, 25—x, 25+jc. Man findet aus der Gleichgewichtsbedingung

1200 g (25 — x) = 1000 gx + 600 g (25 + x) x = 5-3 cm.

Man bemerkt, dass bei der numerischen Lösung dieser Aufgabe (und der ähnlichen) nur die Massen zu berücksichtigen sind; der Faktor g fällt weg.

21. Reibung und Reibungscoeflicient. — Da die Reibung im Stande ist die bewegende Wirkung einer Kraft aufzuheben, so ist sie als eine Kraft zu behandeln, wie dies in einigen Beispielen bereits geschah. Ihre Dimension ist demnach Lmt-2.

Die gleitende Reibung q ist proportional dem Gewichte Q des bewegten Körpers:

? = <p<2>

die Constante 9 heisst der Reibungscoefficient und ist, der Definition <p=g\Q entsprechend, eine Verhältnisszahl, also von der Dimension 1. Der Winkel, dessen Tangente = cp, heisst der Reibungswinkel, seine Dimension ist natürlich ebenfalls 1.

Dasselbe gilt für den Coefficienten der Zapfenreibung. Dieser ist zwar je nach der Form der Zapfen verschieden, das heisst eine Funktion der Abmessungen des Zapfens1), doch die Dimensionsermittelung fuhrt stets zum Resultate 1.

Die wälzende Reibung F ist dem Drucke P direkt und dem Halbmesser der Walze umgekehrt proportional:!

F—<? —,
r

<p ist der Coefficient der wälzenden Reibung. Es ist cp = Fr\P, und da F\P als das Verhältniss zweier Kräfte eine Zahl ist, so ist die Dimension von <p gleich derjenigen von r, das heisst L.

Es wurde vorausgesetzt, dass die Kraft F am Hebelarme r angreift. Greift sie am Hebelarme 2 r an, so ist die wälzende Reibung nur halb so gross.

Beispiel 1. Nach Coulomb ist der Coefficient der wälzenden Reibung (im C.G.S.-System) für Walzen

aus Guajakholz cp =0-048 cm,
aus Ulmenholz cp = 0-082 cm,

wenn die Walzen auf Unterlagen von Eichenholz rollen und der Hebelarm der Kraft gleich dem Halbmesser der Walze (in Centimetern) ist.

Beispiel 2. Ein Schlittschuhläufer von der Körpermasse m hat durch Anlauf die Geschwindigkeit 8oocmsec-1 erlangt und gleitet zufolge seines Beharrungsvermögens noch 19000 cm weiter. Man berechne den Reibungscoefficientencp.

') Man siehe z. B. Kopka, Formelsammlung p. 297.

Die lebendige Kraft des Schlittschuhläufers ist \m (800)2 Erg; diese wird durch die Arbeit der Reibung, 9^x981 x 19000 Erg aufgezehrt. Aus der Gleichung

\ m (800)2 =ip«x981 x 19000

findet man <p = 0-017.

Beispiel j. Welche Kraft ist erforderlich, um einen Zug von der Masse 60 000 Kg auf einer horizontalen Bahn aus dem Ruhezustand in - die Geschwindigkeit 1 o m sec~1 innerhalb einer Minute zu versetzen, wenn man auch die vorhandenen gesammten Widerstände, für welche <p = ^fo sei, in Betracht zieht?

Die Beschleunigung ist, wenn kein Widerstand vor1000

handen wäre — = 16-67cmsec~2 (vgl. 15 Beisp. 2) und

60

die Kraft io9 Dyne. Die Beschleunigung des Widerstandes

ist aber ^* = 4-9ocmsec~2, folglich muss die bewegende 200

Kraft, um die besagte Geschwindigkeit hervorzubringen die Gesammtbeschleunigung 16-67 + 4-90 = 21-57 cm sec~2 erzeugen.

Die Masse des Zuges ist 6 x 1 o7 g; die Masse aber, die der zur Ueberwindung der Widerstände erforderlichen

Kraft entspricht, ist —-— x6 x io7g, folglich ist die ganze 200

zu rechnende Masse 1-005 x 6 x io7 g. Demnach ist die erforderliche Kraft

i-0o5 x6 x io7 x 21-57 = i -30 067 x io9 Dyne oder 1300-67 Megadyne.

Beispiel 4. Welche Arbeit ist erforderlich, um dem Zuge des vorigen Beispiels die angegebene Geschwindigkeit in einer Minute zu ertheilen?

Die Arbeit ist gleich dem Produkte aus der Gesammtkraft (1-30067 x io9 Dyne) und aus dem zurückgelegten Wege. Dieser ist s = ^yt2, wo y die von der Gesammt

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