Es meinschaftlich zukommenden Wurzeln enthalten. kann sich übrigens ereignen, dass der Grad des gemeinschaftlichen Maasses, also auch der Grad der resultirenden Kongruenz mehr Einheiten enthält, als gemeinschaftliche Wurzeln vorhanden sind, in welchem Falle die linke Seite der resultirenden Kongruenz aus einem Produkte von der Form (x-x1)(x-x)... und einem beiden gegebenen Kongruenzen gemeinschaftlich angehörigen unlösbaren Polynome bestehen wird. Der Satz VI. gibt aber ein Mittel, die Anzahl der verschiedenen Wurzeln der Kongruenz (1) vom nten Grade genau zu bestimmen. Denn alle m Wurzeln, welche diese Kongruenz vom nten Grade enthält, kommen offenbar auch der Kongruenz (14) vom p 1ten Grade zu. Ermittelt man also das grösste gemeinschaftliche Maass zwischen а。x2+α1x11+...+an-1x+an und -1 1 und setzt dasselbe 0; so muss die entstehende Kongruenz die m Wurzeln enthalten, welche den Kongruenzen (1) und(14) gemeinschaftlich angehören. Das fragliche gemeinschaftliche Maass ist aber ein Faktor von x-1 1, und enthält demnach genau so viel verschiedene Wurzeln, als sein Grad Einheiten. Demnach muss der Grad der resultirenden Kongruenz =m sein, also genau die Anzahl der verschiedenen Wurzeln der Kongruenz (1) anzeigen. Wäre zwischen den beiden genannten Polynomen kein gemeinschaftliches Maass vorhanden; so hätte die gegebene Kongruenz (1) auch keine Wurzeln. §. 147. Die quadratischen Reste und die Grundbedingung ihrer Existenz, wenn der Model eine Primzahl ist. I. Ein besonderes Interesse erwecken die reinen qua dratischen Kongruenzen x2 a=0 modp, welche man auch in der Form (1) a = x2 mod p schreiben kann. Nach dieser Form wird also eine Zahl x gesucht, deren Quadrat zu der gegebenen Zahl a nach dem Model p kongruent ist. Statt dieser Kongruenz bat man auch die Gleichung (2) a= x2+up oder a x2=wp welcher zufolge ein Werth von x gesucht wird, der die Zahlform a a2 durch p theilbar macht. Wegen der wichtigen Beziehungen, welche zwischen den beiden Zahlen a und p bestehen, sind dieselben von Gauss mit besonderen Namen belegt. Nach dessen Vorgange nennt man die Zahl a, welche fähig ist, nach dem Model p irgend einem Quadrate kongruent oder der Rest irgend eines Quadrats zu werden, einen quadratischen Rest der Zahl p. Wenn dagegen die Zahl a hierzu unfähig, also die Kongruenz (1) unmöglich ist; so heisst a ein quadratischer Nichtrest von p. Dass a ein quadratischer Rest oder Nichtrest von p sei, bezeichnet Gauss kurz resp. durch die Formel Man findet, dass die vorstehende, mit Rücksicht auf Kürze des Ausdrucks von Gauss gewählte Benennung der Zahl a nicht ganz streng in dem Prinzipe der Nomenklatur des §. 135, I. für die Kongruenzen ersten Grades begründet ist, indem bei gewöhnlichen Resten oder denen vom ersten Grade die beiden kongruenten Zahlen miteinander, bei quadratischen Resten dagegen die Eine dieser Zahlen mit dem Model verglichen worden. Wenngleich durch die abweichende Benennung der quadratischen Reste nicht leicht Missverständnisse zu besorgen sind; so fragt es sich dennoch, ob es der Konsequenz wegen nicht rathsam sei, unter strenger Beibehaltung der Begriffe des §. 135, I. zu sagen, a sei ein quadratischer Rest nach p (statt von p). Wir werden uns in allem Folgenden stets dieser konsequenteren Benennung bedienen. II. Wenn p eine in a nicht aufgehende unpaare positive Primzahl ist; so lautet die Grundbedingung für die Möglichkeit oder Unmöglichkeit der Kongruenz (1) folgendermaassen. Die Zahl a ist ein quadratischer Rest oder Nichtrest nach p, je nachdem man hat und im ersteren Falle gibt es für x immer einen Werth, absolut kleiner als, welcher die Kon gruenz (4) erfüllt. 2' a= x2 mod p Zum Beweise dieses äusserst wichtigen Satzes denken wir uns die Quadrate der natürlichen Zahlen von 1 bis p-1 gebildet und deren kleinste positive Reste nach dem Model p genommen, sodass man resp. x2-12, 22, 32... (p-1)2=r1, T2, T3...rp-1 hat. Von diesen p. 1 Resten werden je zwei von den Enden gleich weit abstehende wie rn und rp-n einander gleich sein, weil man offenbar (p-n)2= p2+2pn+n'n' hat. Lässt man aber die zweite Hälfte dieser Reste, welche der ersten p 1 Hälfte gleich sind, ausser Acht, betrachtet also nur die 2 Ρ 1 Reste der Quadrate von 1, 2, 3 ; so werden dieselben sämmtlich verschieden sein. Denn wären zwei Reste dieser Hälfte, wie rm und r einander gleich, wäre also m2=n2 oder m2 n2 = · (m + n) (m — n)=0 modp; so müsste entweder die Zahl m n oder die Zahl mn durch p theilbar sein, was unmöglich ist, da beide Zahlen <p sind." 2 Erwägt man nun, dass die Reste r1, r2...Tp-1 sämmtlich den Zahlen 1, 2, 3...p-1 angehören; so leuchtet ein, dass von den natürlichen Zahlen 1, 2...p 1 die Hälfte irgend einem Quadrate kongruent, also quadratische Reste sind, während die andere Hälfte keinem Quadrate kongruent, also quadratische Nichtreste sind. Denken wir uns jetzt die natürlichen Zahlen 1, 2, 3...p-1 auf die Potenz vom Grade 1 erhoben; so wird eine jede P- 1 Potenzen entweder 1 oder = 1 mod p sein dieser p Ρ 1 Ρ 1 2 Zahlen geben kann, deren te Potenzen einander kon gruent sind; so muss offenbar die Hälfte der erwähnten Potenzen 1 und die andere Hälfte = 1 sein. Es ist aber die te Ρ 1 te Potenz eines jeden der vorhin mitr bezeichneten quadratischen Reste = 1; denn man hat p-1 2 rn = (n2) 2 = =np-1, welcher Werth nach dem Fermatschen Lehrsatze S. 139 stets =1 ist. Da nun die Menge der verschiedenen Werthe der Reste r Ρ 1 gleich ist; so erhellet, dass diese quadratischen Reste diejenige Hälfte der Zahlen 1, 2, 3...p-1 darstellen, deren 1 2 p te Potenzen 1 sind, während die Potenzen der anderen 2 Hälfte oder der quadratischen Nichtreste 1 sind. 2 Hieraus folgt, dass eine Zahl a, deren P-1 te Potenz =1 ist (und für welche man in der Formel (3) auch ihren kleinsten positiven Rest nach p gesetzt denken kann) nothwendig irgend Einem der quadratischen Reste oder einem Quadrate 2 kongruent sein, also selbst einen quadratischen Rest darstellen muss, während im anderen Falle eine Zahl 1 p а, deren 2 te Potenz 1 ist, nur ein quadratischer Nichtrest sein kann. Unter den positiven Zahlen 1, 2...p1 gibt es nach Vorstehendem aber immer zwei, deren Quadrate a sind. Ist die Eine; so ist p-x die andere. Beide sind <p; die Eine aber ist sogar <1⁄2, während die andere > ist. 2 2 Die erste stellt den absolut kleinsten Werth von x dar, und man kann offenbar, wenn die Eine ist, x für die andere nehmen. Ρ 1 Der umgekehrte Satz, dass die te Potenz von a kongruent 1 oder 1 sei, jenachdem a ein quadratischer Rest oder Nichtrest nach p ist, leuchtet hiernach von selbst ein. Die Primzahl p kann in Vorstehendem auch negativ gedacht werden, wenn man nur in dem Exponenten P-1 unter p den absoluten oder positiven Werth jener Primzahl versteht. S. 148. Das Reziprozitätsgesetz. I. Mit diesem Namen hat Legendre einen von ihm zuerst aufgefundenen, aber ohne genügenden Beweis aufgestellten Satz belegt, welcher sich folgendermaassen darstellen lässt: Wennp und q zwei unpaare und verschiedene positive Primzahlen sind, und man setzt Ist also Eine der Zahlen p, q oder sind beide von der Form 4r1, ist mithin p-1q-1 eine paare Zahl; so sind m und n ́entweder beide paar oder beide unpaar, folglich immer (-1) = (— 1)". Ist dagegen keine der Zahlen p, q von der Form 4r+1, Ρ 1 q 2 sind vielmehr beide von der Form 4r+3, ist mithin 2 eine unpaare Zahl; so ist von m und n die Eine paar und die andere unpaar, folglich (1)m (— 1)". Hiernach lautet das Reziprozitätsgesetz: Wenn sich unter den beiden unpaaren Primzahlen p, q Eine von der Form 4r+1 findet; so haben die absolut 2 q-1 kleinsten Reste von q 2 und p resp. für die Model p und q gleiche Zeichen; wenn dagegen jene Zahlen beide von der Form 4r+3 sind; so haben jene Reste ungleiche Zeichen. II. Zum Beweise dieses Satzes bilden wir zuerst für den Model p folgende Gruppe von Gleichungen und korrespondirenden Kongruenzen für die sukzessiven Vielfachen der Zahl q, indem wir die kleinsten positiven Reste mit R bezeichnen und zur Abkürzung setzen, und demnach die Beziehung m+n=vw zu beweisen suchen. Unter der obersten Hälfte dieser Reste, also unter den Resten R1, R2...R、, welche sämmtlich <p sind, kommt eine gewisse Anzahl m vor, welche > sind, während die übrigen << sind. Es werden dann unter der untersten Hälfte, also unter den Resten R+1, Rv+2, ... Rav eine Anzahl m vorkommen, welche <1⁄2 sind, während die übrigen >1⁄2 sind. Da nun immer je zwei Reste von den Zeigern x und p- x die Summe p bilden (§. 136); so ist klar, dass die m Reste der oberen Hälfte, welche >1⁄2 sind, mit den m Resten der unteren Hälfte, |
