Abhandlung über die darstellung der funktionen durch trigonometrische reihen (1876) |
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Abhandlung: Über die Darstellung der Funktionen Durch Trigonometrische ... Paul du Bois-Reymond No preview available - 2016 |
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a₁ Abhandlung absolut konvergent Alfred Loewy allgemeinen alsdann Annahme beiden beliebig klein besonders bestimmen Beweis Borchardts Journ dao(a Darstellbarkeit Darstellung Differentialquotienten stetig Dirichlet Divergenz divergiert endlich Ergebnisse ersten Hauptsatzes folgenden folgt Form Fourier Fourierschen Reihen Funk Funktion f(x G. H. Hardy Gleichung groß Größe Herausg Herausgeg Hilfss infinitäre integrierbar Intervall J₁ J₂ James Clerk Maxwell Koeffizienten Konvergenz und Divergenz langsam Null läßt Leonhard Euler lich Limes des Integrals Limesh limh Math mittleren Integrals muß N. H. Abel notwendige Bedingung obigen Ostwalds Klassiker Paul du Bois-Reymond Potenzreihen Punkte Regeln Resultat Satz Schluß setzen sin ah stetigen Funktionen Stetigmachung Teil Textfig Textfiguren Theorie tion trigonometrischen Reihen u₁ unendlich viele Maxima unendlich werdenden unendlichen Grenzen unbestimmt unsere vergenz verschwindet Wert wieder x₁ Xp+1 Zerlegung zweiten Hauptsatz α α α α₁ αι σ α хр
Popular passages
Page 17 - T (o) kann als Widerspruch mit dem Schluss angesehen werden, dass es keine Function gibt, welche die Grenze zwischen Convergenz und Divergenz bildet. Ein Widerspruch ist indessen hier nicht vorhanden. Die genauere Erörterung dieser etwas subtilen Frage werde ich demnächst an anderem Orte geben.8) Hier nur in Kürze die Andeutung, dass die Function T zu den von der ') Abh.
Page 97 - Gang von sin ?F(ce) eine Vorstellung zu gewinnen, nennen wir Dichtigkeit der Maxima einer Function f(x) an der Stelle x — x' die Längeneinheit dividirt durch die Summe der Entfernungen des x' von den beiden nächsten Maximis von f(x), bei welcher Definition die Dichtigkeit der Maxima eine stetige Function von x
Page 17 - Functiouen in ähnlicher Beziehung steht, wie der Kreis zu den ihm umschriebenen und eingeschriebenen Linien . . . ." Dies mag auf den ersten Blick ganz plausibel erscheinen, auch wenn man davon absieht, dass das zur Erläuterung herangezogene Beispiel des Kreises als Grenze der umschriebenen und eingeschriebenen Polygone durchaus unpassend gewählt ist. Denn der Kreis kann unabhängig von jenem GrenzProcesse...
Page 17 - Praktisch braucht man übrigens unter r nicht die Grenze der Convergenz und Divergenz selbst sich vorzustellen, sondern es genügt, darunter eine Function sich zu denken, die der Grenze näher liegt, als alle anderen in den gerade vorgelegten Calcul eingehenden.
Page 64 - Wenn man die Grenze zwischen Convergenz und Divergenz auch nicht wirklich darstellen kann, so hindert dies nicht, in den Calcul eine ideale Function т (а) einzuführen, von solcher Beschaffenheit, dass das Integral г (a) a « convergirt, dass aber jedes Integral °d«.$W a divergirt, in welchem <p (a) > г (a) gedacht sind.
Page 134 - Integrals l da^— sinfea, o wiewohl man meinen könnte, wegen des Logarithmus im Nenner, in viel vorteilhafterer Lage zu sein. Jedenfalls ist durch meine Untersuchungen gegenwärtig das Interesse der Theorie von diesem Integral in jenes verlegt. Ich habe aber nicht die Absicht mich weiter damit zu beschäftigen.
Page 122 - Differentialquotienten stetig, und gleichwohl für x = o nicht darstellbar. Man kann übrigens aus der Function p(x) sin *F(x) noch andere nicht darstellbare Functionen erhalten, deren Entwickelung nach. F'ourierschen Reihen oder deren Ausdruck durch ein Fouriersches Integral in jedem kleinsten Intervall unendlich wird. Denn bilden wir die Function 100 101 mit der Bestimmung f(o) = o, so ist diese Function für jedes x stetig.
Page 126 - Darstellungsformeln*) eine andere folgen zu lassen, welche nach einigen Richtungen hin die dortigen Forschungen weiter fortführen sollte. Dieses Vorhaben wurde mir inzwischen durch die Länge , welche jene erste Veröffentlichung annahm, verleidet, und ich habe, statt noch eine zweite Abhandlung zu schreiben, vorgezogen, Einzelnes aus der Fortsetzung meiner Untersuchungen in kurzem Auszug in jene Mittheilung während des Druckes einzuschalten (Art. 40 von „Dies Resultat" au und Schlussbetrachtuugen),...
Page 130 - Convergeng und Divergenz ist ein irrationales Unendlich, welches sich zu den convergenten und divergenten unendlichen Operationen ganz ähnlich verhält , wie die Länge der Kreisperipherie zu den von aussen und von innen für sich ihr nähernden geschlossenen Linien von numerisch darstellbarer Länge. Bei diesem Vergleich habe ich mich beruhigt, und habe, um an die Irrationale n zu erinnern, die Function von irrationalem Unendlich, welche die Grenze zwischen Convergenz und Divergenz bildet, mit...
Page 128 - Bois-Reymond wieder aufzustellen, einfachere Beweise einiger von ihnen zu geben und sie mittels besonderer Integrale zu erläutern, die an sich interessant sind und entweder genau oder asymptotisch ausgewertet werden können. Manche der schwierigeren Ergebnisse können nur durch verfeinerte Methoden bewiesen werden.