Géometrie analytique: Théorie nouvelle des normales aux surfaces du second ordre. Notes sur l'algèbre, la géométrie et la mécanique application de la méthode des différences à la séparation des racines d'une équation algébrique. Théorie des maximums et minimums

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Mallex-Bachelier, 1862
 

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Page 95 - ... aura d'ailleurs l'avantage d'être conduit par ce calcul à une limite supérieure des racines positives de l'équation plus simple et plus avantageuse que la limite du programme. Nous allons , en effet, démontrer tout à l'heure que les tableaux (B) , (B7) , etc. , sont terminés dès que les nombres écrits dans une ligne oblique sont tous positifs. Ainsi , d'après cette règle, 4 est une limite supérieure des racines positives de l'équation proposée , tandis que nous avions trouvé 5...
Page 99 - ... en • égalant les coefficients des mêmes puissances de x dans les deux membres, on obtiendra une série d'équations qui serviront à déterminer les inconnues.
Page 96 - Le théorème que nous proposons de démontrer est une conséquence immédiate de la formule ' ' — ax — a qui peut remplacer dans tous ses usages la formule ordinaire d'interpolation : elle diffère de cette dernière, comme on voit, par les coefficients des différences et par les différences elles-mêmes. Les différences ne sont plus relatives à une même valeur de la /variable x , mais à des valeurs a — h, a — a /i , . . . , a — mh , décroissant suivant la raison d'une progression...
Page 103 - ... et (J3 , et ainsi de suite , on voit que la substitution d'une forme à l'autre ne présente guère d'avantage; mais je dis qu'il importe, au contraire, de conserver aux équations leur forme primitive. En effet , la formule...
Page 100 - Vieille donnera encore les équations entre les nouveaux d et A par l'identification des coefficients des mêmes puissances de x dans les deux derniers développements ; mais on remarque que ces deux derniers développements se déduisent des deux précédents par le changement de X en — X, et par le changement de signe des ê et A d'indice impair.
Page 94 - A, 6 6 • • • 6 6 6 6 6 6 6 des lignes de nombres parallèles à la ^première et qui se déduisent chacune de la précédente. On arrête d'ailleurs le tableau vers la droite et vers la gauche, aux nombres 5 et — 18, à moins que la simple inspection de l'équation n'ait déjà donné des limites préférables; 5 et — 18 sont, en effet, les limites respectives des racines positives et négatives de l'équation, puisque les colonnes verticales correspondant à...
Page 96 - ... est nulle. Démonstration fie la formule (i).— Nous remarquons d'abord que, par la construction même du tableau (B) , chacun des nombres d'une ligne oblique est la somme de tous les nombres de la ligne oblique précédente jusqu'au nombre de même rang que lui. Ainsi, par exemple, la ligne correspondant à x = i ayant été calculée, on a chacun des nombres de la colonne suivante par les inégalités 6 = 6, 28 = 22 + 6, — 62=— 90 + 22+6, 29 = 91 — 90 + 22 + 6. On voit par là que chacune...
Page 140 - Constante. me. ma D'où la proposition suivante : Étant donnée une cassinienne, on peut toujours déterminer un diamètre de la sphère sur laquelle elle est tracée et deux points fixes de cette sphère, de telle sorte que le produit des distances d'un point quelconque de la courbe aux deux points fixes divisé par la distance de ce même point au diamètre donne un quotient constant.
Page 103 - ... pour deux nombres a et b, donnent une limite supérieure du nombre des racines de l'équation comprises entre a et b ; on devra donc , pour procéder régulièrement à la séparation des racines, voir quels sont les signes des seconds membres des équations tels que (a) (*) ; le théorème de Fourier pourra alors indiquer des intervalles où il est inutile de chercher des racines, et le calcul se trouvera abrégé de beaucoup. Lorsque, par la considération directe de l'équation ou la discussion...
Page 96 - ... 22 + 6. On voit par là que chacune des lignes obliques se déduit de la précédente, comme une ligne horizontale du triangle de Pascal se déduit de celle qui la précède; seulement les nombres de la première ligne oblique ne sont pas égaux à l'unité, comme les nombres de la première ligne horizontale du triangle arithmétique. Mais si l'on écrit sur une première ligne horizontale (m...

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