Konvergenz von Krylov-Verfahren für Eigenwertprobleme

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GRIN Verlag, 2008 - 76 pages
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Diplomarbeit aus dem Jahr 1998 im Fachbereich Mathematik - Angewandte Mathematik, Note: sehr gut, Eberhard-Karls-Universitat Tubingen (Mathematische Fakultat), 9 Quellen im Literaturverzeichnis, Sprache: Deutsch, Abstract: Eigenwerte von Matrizen zu berechnen ist ein Problem, das haufig in naturwissenschaftlich-technischen Anwendungen auftritt. In der Theorie kann man mit Hilfe von Eigenwerten unter anderem Aussagen uber die Stabilitat von dynamischen Systemen machen. Ausserdem spielen sie in der Stochastik, z.B. bei Markov-Ketten (Ubergangswahrscheinlichkeiten, Brownsche Bewegung), eine wichtige Rolle. Nun einige Beispiele aus praktischen Anwendungen: - in der Physik bei Schwingungsproblemen - in der Chemie bei Verbrennungsprozessen - in der Makrookonomie bei der Uberprufung von Marktstabilitat - in der Biologie bei Populationsmodellen Die hierbei auftretenden Fragen bzw. Aufgaben sind z.B.: Wie berechnet man - alle Eigenwerte und/oder alle Eigenvektoren fur eine kleine Matrix (bis 10 DEGREES3*10 DEGREES3)? - einen Eigenwert und/oder den zugehorigen Eigenvektor (betragsgrosster, -kleinster, mit grosstem Realteil, ...)? - einige wenige Eigenwerte und gegebenenfalls die zugehorigen Eigenvektoren? - einen Eigenvektor zu einem bekannten Eigenwert (Markov-Ketten) Bei kleinen Matrizen, das heisst Matrizen der Grossenordnung bis etwa 10 DEGREES3*10 DEGREES3, konnen diese mittels Householder-Transformationen auf Hessenberg-Form bzw. im hermiteschen Fall auf Tridiagonal-Form zuruckgefuhrt werden. Dann kann man z.B. mit der QR-Zerlegung die gewunschten Eigenwerte und/oder die zugehorigen Eigenvektoren berechnen. In dieser Arbeit sollen Matrizen in der Grossenordnung 10 DEGREES3*10 DEGREES3 bis 10 DEGREES6*10 DEGREES6 betrachtet werden. Da die erwahnten Standard-Algorithmen einen zu hohen Rechen- und Speicheraufwand verursachen, versucht man mittels Projektionsverfahren dieses grosse Problem auf ein kleines zu reduzieren, um darauf die Standardtechniken wieder anwenden und somit einen Teil des Spektrums appr
 

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Einleitung
1
RitzWerte
21
KrylovMethoden
39
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