Lehrbuch der Differential- und Integralrechnung, Volume 3

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Teubner, 1904 - Calculus
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Page 462 - Differentialgleichung |!L + j_f» 0 ex oy vermittelst endlicher bestimmter Werthe der Ableitungen erfüllt ist, Stellen also, an denen entweder diese Ableitungen einzeln oder beide unbestimmt, auch unendlich werden, oder an denen dieselben nicht mehr der Differentialgleichung genügen könnten. Auch werde die Möglichkeit offen gelassen, dass Stellen vorhanden sind, an denen diese Ableitungen, mögen sie dort der Differentialgleichung genügen oder nicht, nicht mehr stetige. Functionen der beiden...
Page 461 - Kreise begrenzte Gebiet, in welchem keine singulären Punkte gelegen sind; nur kann in, diesem Falle der innere Kreis im allgemeinen nicht mehr beliebig klein gemacht werden. II. Erweiterung der Voraussetzungen für die nach Potenzreihen entwickelbaren Functionen. 6. Es soll nun untersucht...
Page 462 - Gleichung (9) in jedem kleinsten Intervalle mindestens an einer Stelle genügen, durchweg diese Relation befriedigen. Die Stetigkeit der ersten Ableitungen bleibt gesichert, sobald das simultane System erster Ordnung (9) bis (12) und die aus demselben abgeleiteten Differentialgleichungen zweiter Ordnung (13) bei allen Werthen von r mit Ausnahme einer discreten Menge Geltung haben.*) Denn alsdann ist i 9Ak k* , k A...
Page 464 - Curve nur eine discrete Menge bilden, und die Curven selbst, auf denen sie gelegen sind, nur ein discretes System zusammensetzen. Unter diesen Bedingungen kann w überhaupt an keiner Stelle im Innern des Gebietes unstetig sein, wenn eine durch Abänderung des Werthes in einzelnen Punkten hebbare Unstetigkeit ausgeschlossen ist. Die von Rie...
Page iv - ... infolge dessen auch vielfach die Form und Anordnung der Darstellung. Ganz neu bearbeitet ist das Kapitel über Variationsrechnung; natürlich konnte in dem zur Verfügung stehenden Räume keine systematische Darstellung dieser Disziplin auf moderner Grundlage geboten werden; vielmehr wurde wie bisher als erreichbares Ziel festgehalten die Aufstellung der Differentialgleichungen und Grenzbedingungen für den Fall einfacher Integrale unter Berücksichtigung solcher Nebenbedingungen, die in den...
Page 457 - ä~T durchweg stetig ist, während die zweiten Ableitungen die Gleichung (2) befriedigen, so sind auch alle Ableitungen von u durchweg stetige Functionen der beiden Variabelen in diesem Gebiete. 4. Riemann geht in seiner Begründung der...
Page 464 - Möglichkeit ofi'en gelassen, dass auch die Function w an irgend welchen Stellen im Innern des Gebietes zwar endlich bleibt, aber unstetig wird, so gelten alle früheren Sätze, wenn diese Unstetigkeitsstellen so vertheilt sind, dass erstlich die Integrale...
Page 462 - Functiouen von r sein, und drittens müssen die Differentialgleichungen (9) bis (12) wenn sie auch nicht von vornherein als für jeden Werth von r geltende bekannt sind, doch noch in beliebiger Nähe eines jeden Werthes Geltung haben. Sind nämlich die Coefficient«!
Page iv - Beihenentwicklung bewiesen und sodann durch das analoge Verfahren auch die Existenz einer Partikularlösung an einer singulären Stelle der Bestimmtheit; das Auftreten von Logarithmen wird wenigstens durch Beispiele erläutert. In einem Anhang ist zunächst aus der alten Auflage die Harnacksche Note über das Existenztheorem in der Theorie der Funktionen einer komplexen Veränderlichen wieder abgedruckt; es folgen dann wie bei den beiden ersten Bänden Schlußbemerkungen mit Literaturnachweisen und...
Page 455 - Function tc = u -J- iv definirt, welche dort überall einen bestimmten endlichen, mit der Lage des Punktes xy stetig sich ändernden Werth hat, und ferner partielle Ableitungen nach x und y besitzt, die ebenfalls für alle Punkte im Innern stetig sind und dabei den Gleichungen (1...

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