Traité des substitutions et des équations algébriques

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Gauthier-Villars, 1870 - 667 pages
 

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Page 271 - N'. Corollaire III. Toute adjonction de quantité auxiliaire qui abaisse le groupe de Pune de ces deux équations en divisant par v le nombre de ses substitutions abaisse de même le groupe de l'autre. En effet les équations étant équivalentes après l'adjonction comme avant, leurs groupes ne devront pas cesser de présenter le même nombre de substitutions. De ce corollaire on déduit, comme conséquence immédiate, la proposition suivante : Corollaire IV. Toute équation équivalente à une...
Page 257 - R', R", . . . ) dont les racines sont inégales, et dont les coefficients font partie d'un domaine (R, R', R", . . .), il existe entre les racines un groupe de substitutions tel que toute fonction des racines dont les substitutions de ce groupe n'altèrent pas la valeur numérique dans le domaine soit rationnellement exprimable, et réciproquement.
Page v - Galois assoit la théorie des équations sur sa base définitive, en montrant qu'à chaque équation correspond un groupe de substitutions, dans lequel se reflètent ses caractères essentiels, et notamment tous ceux qui ont trait à sa résolution par...
Page 265 - F(x)=0, laquelle fonction, non altérée par les substitutions de 1, l'est évidemment par toute autre substitution de G. Elle dépend donc d'une équation irréductible dont le degré est égal au rapport des ordres de G et de I (n° 13).
Page 258 - C'est celui qu'on obtient en supposant qu'il n'y ait aucune quantité adjointe. Ce groupe contient tous les autres: car soit H le groupe que l'on obtient en adjoignant à l'équation des quantités y, z, ... arbitrairement choisies. Une fonction invariable par les substitutions de G et variable par toute...
Page 176 - La substitution qui multiplie tous les indices par — 1 fait partie de //, et ses puissances forment un groupe K, d'ordre 2, et évidemment permutable aux substitutions de H. Donc 2 est l'un des facteurs de composition cherchés; et pour prouver que les autres se réduisent à un seul, £Q», il suffira d'établir que K est le seul groupe contenu dans H et permutable à ses substitutions. A cet effet, nous allons montrer que tout groupe I, autre que K, contenu dans H et permutable à ses substitutions,...
Page viii - Nous devons ä M. KRONECKER la notion du groupe des equations de la division de ces dernieres fonctions. Nous anrions desire tirer un plus grand parti que nous ne l'avons fait des travaux de cet illustre auteur sur les equations. Diverses causes nous en ont empeche: la nature tout arithmetique de ses methodes, si differentes de la...
Page 255 - On peut former une fonction W de ces racines, dont la valeur numérique, invariable par les substitutions de G, varie par toute autre substitution. Soient en effet 1, a,b, . . . les substitutions de Gr.
Page 272 - On peut considérer comme appartenant à la même classe deux équations f(Y) = 0 et/"(Y) = 0 telles que les diverses racines de l'une d'elles s'expriment respectivement par une même fonction rationnelle des racines correspondantes de l'autre. Le nombre des classes d'équations irréductibles équivalentes à la proposée F(x) = 0 est nécessairement limité, et on pourra le déterminer en cherchant quels sont les divers groupes...
Page 269 - G' contiennent respectivement N et N' substitutions. Si la résolution de la seconde équation réduit le groupe de la première à un groupe H\ ne contenant plus que — substitutions, réciproquement la résolution de la première réduira le groupe de la seconde à un groupe Ht' ne contenant plus que --- substitutions.

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