Einführung in die Grundlagen der Geometrie: Bd. 1. Abschnitt. Berechtigung der nicht-euklidischen Raumformens. 2. Abschnitt. Die projektive Geometrie. 3. Abschnitt. Der Mehrdimensionale Raum. 4. Abschnitt. Die Clifford-Kleinschen Raumformen

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F. Schöningh, 1893 - Geometry
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Page 6 - Verfasser gebraucht das Wort Lage in seinem Beweise als absoluten Begriff, indem er von Identität der Lage zweier nicht coincidirenden geraden Linien spricht. Diese Bedeutung ist offenbar so lange leer und ohne Haltung, bis wir wissen was wir uns bei einer solchen Identität denken und woran wir dieselbe erkennen sollen. Soll sie an der Gleichheit der Winkel mit einer dritten geraden Linie erkannt werden, so wissen wir ohne vorangegangenen Beweis noch nicht, ob eben dieselbe Gleichheit auch bei...
Page 177 - Zustandes, den es hat, fähig ist, und abstrahiren nun von allem anderweitigen Inhalte des Dinges und aller Besonderheit dieses seines Zustandes, und nennen das von allem anderweitigen Inhalte abstrahirte Ding das Element, so gelangen wir zu dem aufgestellten Begriffe.
Page 269 - ... symmetrischer Körper sich durch die vierte Dimension erweisen lassen. Zunächst ist mit Killing1) hiergegen einzuwenden, daß damit „nichts Wesentliches gewonnen" wäre, da nunmehr vierdimensionale Gebilde in ihrer Gestalt und Größe übereinstimmen könnten, ohne kongruent zu sein. „Wie groß man auch die Zahl der Dimensionen annehmen mag, niemals wird der Begriff der Kongruenz identisch sein mit dem Begriff der Übereinstimmung in allen Größenbeziehungen.
Page 230 - ... sin a : sin b : sin c = sin a : sin ß : sin y cos a = cos b + cos c + sin b sin c • cos a cos a — - cos ß cos y + sin ß sin y • cos a . 2.
Page 177 - Gebiet (a -j- b — c)ter Stufe gemeinschaftlich haben ; aber die Raumlehre kann diesen Satz nur für c gleich oder kleiner als 4 zur Anschauung bringen. 2) Der Flächenraum eines Dreiecks ist die Hälfte von dem eines Parallelogramms, dessen Seiten mit zwei Seiten des Dreiecks gleich lang und parallel sind , der Körperraum des Tetraeders...
Page 290 - ... folgenden Ausspruch erhalten: Bewegen wir irgend einen Körper, so 'ist dadurch auch für jeden ändern Körper, welcher mit dem ersten fest verbunden ist, eine gewisse Bewegung eindeutig bestimmt. Betrachten wir also einen festen Körper und denken uns unbegrenzt weitere Körper damit fest verbunden, so bedingt die Bewegung des ersten Körpers auch die eines jeden damit fest verbundenen, und zwar gelangt man , wenn die Bewegung des ersten und die Verknüpfung der einzelnen Körper gegeben ist,...
Page 18 - Kill in g hält diesen Drang gerade für unzuverlässig und für geeignet, unser Urteil zu trüben1), während wir im Gegenteil behaupten, daß auch für das Unendliche nicht abweichende Gesetze gelten können, weil wir solche Regelmäßigkeit psychologisch fordern, und weil wir selbst uns das...
Page 290 - Raum eines zweiten Körpers deckt, so kann er zur Deckung mit jedem Räume gebracht werden, welchen der zweite zu irgend einer Zeit einnimmt. Jeder Körper kann so bewegt werden, dass einer seiner Punkte zur Deckung mit einem beliebigen Punkte des Raumes gelangt. Für einen Körper ist die Lage eines jeden seiner Punkte vollständig und eindeutig bestimmt, sobald die Lage aller einem beliebigen Theile des Körpers angehörigen Punkte bestimmt ist. Diese Gesetze sind nothwendig, um Untersuchungen...
Page 213 - ... sämtliche Größen dx in demselben Verhältnisse wachsen, das Linienelement sich ebenfalls in diesem Verhältnisse ändert. : Unter diesen Annahmen wird das Linienelement eine beliebige homogene Funktion ersten Grades der Größen dx sein können, welche ungeändert bleibt, wenn sämtliche Größen dx ihr Zeichen ändern, und worin die willkürlichen Konstanten stetige Funktionen der Größen x sind. Um die einfachsten Fälle zu finden, suche ich zunächst einen Ausdruck für die (n — 1)fach...
Page 346 - Zweifel vergebens bemühen85." 3.4. Die differenzierbare Mannigfaltigkeit Wir hatten im vorstehenden topologische Eigenschaften von Räumen kennengelernt und gesehen, daß es eine Reihe von solchen Größen gibt, die trotz ihrer Allgemeinheit feststellbare Qualitäten darstellen; wir stellten aber auch fest, daß eine...

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