Hermann Grassmanns gesammelte mathematische und physikalische werke, Volume 1

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Popular passages

Page 10 - Anfang ein eben so unmittelbarer wurde, wie der der Arithmetik, dem Inhalte nach aber der, dass die Beschränkung auf drei Dimensionen -wegfiel. Erst hierdurch traten die Gesetze in ihrer Unmittelbarkeit und Allgemeinheit ans Licht und stellten sich in ihrem wesentlichen Zusammenhange dar, und manche Gesetzmässigkeit, die bei drei Dimensionen entweder noch gar nicht, oder nur verdeckt vorhanden war, entfaltete sich nun bei dieser Verallgemeinerung in ihrer ganzen Klarheit.
Page 73 - Corpus omne perseverare in statu suo quiescendi vel movendi uniformiter in directum, nisi quatenus a viribus impressis cogitur statum ilium mutare. Lex I (in edition of i726). Corpus omne perseverare in statu suo quiescendi vel movendi uniformiter in directum, nisi quatenus illud a viribus impressis cogitur statum suum mutare.
Page 299 - Stufe; das Gebiet dritter Stufe entspricht der Ebene, das vierter dem ganzen Räume. Wenn die Punkte einer geraden Linie sich alle nach einer und derselben Richtung bewegen, die zu neuen (in jener Geraden nicht enthaltenen) Punkten führt, so ist die Gesammtheit der durch diese Bewegung und die entgegengesetzte erzeugbaren Punkte die Ebene; und wenn man ebenso mit den Punkten der Ebene verführt, so erhält man [340] den ganzen Raum.
Page 414 - Nothwithstanding these, and perhaps some other coincidences of view, Prof. Grassmann's system and mine appear to be perfectly distinct and independent of each other, in their conceptions, methods, and results. At least, that the profound and philosophical author of the Ausdehnungslehre was not, at the time of its publication, in possession of the theory of the quaternions, which had in the preceding year (1843) been applied by me as a sort of organ or calculus for spherical trigonometry, seems clear...
Page 11 - Fundamentalformeln : 1) a + b = b + a, 2) a + (b + c) = a + b + c, 3) a + b — b = a, 4) a — b + b = a.
Page 9 - Bei der sonst üblichen Methode zeigte sich durch die Einführung willkürlicher Coordinaten, die mit der Sache nichts zu schaffen haben, die Idee gänzlich verdunkelt, und die Rechnung bestand in einer mechanischen, dem Geiste nichts darbietenden und darum Geist tödtenden Formelentwickelung. Hingegen hier, wo die Idee, durch nichts Fremdartiges getrübt, überall durch die Formeln in voller Klarheit hindurchstrahlte , war auch bei jeder Formelentwickelung der Geist in der Fortentwickelung der Idee...
Page 417 - L'algèbre n'est autre chose que la caractéristique des nombres indéterminés ou des grandeurs. Mais elle n'exprime pas directement la situation, les angles et le mouvement, d'où vient qu'il est souvent difficile de réduire dans un calcul ce qui est dans la figure, et qu'il est encor plus difficile de trouver des démonstrations et des constructions géométriques assez commodes lors même que le calcul d'Algèbre est tout fait. Mais cette nouvelle...
Page 417 - Mais apres tous les progres que j'ay faits en ces matieres , je ne suis pas encor content de l'Algebre , en ce qu'elle ne donne ny les plus courtes voyes , ny les plus belles constructions de Geometrie. C'est pourquoy lorsqu'il s'agit de cela, je croy qu'il nous faut encor une autre analyse proprement geometrique ou lineaire , qui nous exprime directement situm , comme l'Algebre exprime magnitudinem.
Page 22 - Die oberste Theilung aller Wissenschaften ist die in reale und formale, von denen die ersteren das Sein, als das dem Denken selbstständig gegenübertretende, im Denken abbilden, und ihre Wahrheit haben in der Uebereinstimmung des Denkens mit jenem Sein; die letzteren hingegen das durch das Denken selbst gesetzte zum Gegenstande haben, und ihre Wahrheit haben in der Uebereinstimmung der Denkprocesse unter sich.
Page 18 - Algebra, bereits in Grassmanns „Ausdehnungslehre" (1844) enthalten; die genauere Darlegung dieser Verhältnisse würde indessen hier zu weit führen".

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