Grundzüge der theoretischen Logik

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Springer-Verlag, Mar 9, 2013 - Mathematics - 188 pages
Die theoretische Logik, auch mathematische oder symbolische Logik genannt, ist eine Ausdehnung der formalen Methode der Mathematik auf das Gebiet der Logik. Sie wendet für die Logik eine ähnliche Formel sprache an, wie sie zum Ausdruck mathematischer Beziehungen schon seit langem gebräuchlich ist. In der Mathematik würde es heute als eine Utopie gelten, wollte man beim Aufbau einer mathematischen Disziplin sich nur der gewöhnlichen Sprache bedienen. Die großen Fortschritte, die in der Mathematik seit der Antike gemacht worden sind, sind zum wesentlichen Teil mit dadurch bedingt, daß es gelang, einen brauchbaren und leistungsfähigen Formalismus zu finden. - Was durch die Formel sprache in der Mathematik erreicht wird, das soll auch in der theoretischen Logik durch diese erzielt werden, nämlich eine exakte, wissenschaftliche Behandlung ihres Gegenstandes. Die logischen Sachverhalte, die zwischen Urteilen, Begriffen usw. bestehen, finden ihre Darstellung durch Formeln, deren Interpretation frei ist von den Unklarheiten, die beim sprachlichen Ausdruck leicht auftreten können. Der Übergang zu logischen Folgerungen, wie er durch das Schließen geschieht, wird in seine letzten Elemente zerlegt und erscheint als formale Umgestaltung der Ausgangsformeln nach gewissen Regeln, die den Rechenregeln in der Algebra analog sind; das logische Denken findet sein Abbild in einem Logikkalkül. Dieser Kalkül macht die erfolgreiche Inangriffnahme von Problemen möglich, bei denen das rein inhaltliche Denken prinzipiell versagt. Zu diesen gehört z. B.
 

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Contents

Einleitung
1
Einführung von Variablen allgemeingültige Aussagenformen
9
Die konjunktive und die disjunktive Normalform für Ausdrücke
15
Erfüllbarkeit einer Aussageform Folgerungen aus gegebenen Axiomen
22
Der intuitionistische Aussagenkalkül
30
sein daß ich die Symbolik für die Aussageverknüpfungen und für
36
Zweites Kapitel
43
3 Systematische Ableitung der traditionellen Aristotelischen Schlüsse
57
Übungen zum zweiten Kapitel
63
Ausdrücke und ihre Allgemeingültigkeit
73
Sätze über das Axiomensystem
84
Die Ersetzungsregel Bildung des Gegenteils eines Ausdrucks
91
Die Widerspruchsfreiheit Unabhängigkeit und Vollständigkeit
98
Der Prädikatenkalkül mit Identität
104
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