VIELECKE UND VIELFLACHE - THEORIE UND GESCHICHTE

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Contents

Geschichtliche Bemerkungen Ältere Autoren Girard Meister Möbius Poinsot Jacobi Wiener Wolf Hess Dostor u a
12
B Besondere Yielecke 13 Einteilung der besonderen Vielecke
16
Fortsetzung Die Art des Vielecks Anzahl der wecke
17
Fortsetzung Die Winkel die Kanten und der Inhalt des Vielecks
18
Fortsetzung Doppelpunkte und Diagonalen Das vollständige regelmässige wseit und weck
19
Reziprozität der regelmässigen Vielecke
20
Gleicheckige und gleichkantige Vielecke Ein und umbeschriebene Kreise
22
Entstehung der gleicheckigen Vielecke Die Kanten verschiedener Art
23
Die Winkel des gleicheckigen Vielecks die Kanten und die Radien der einbeschriebenen Kreise
24
Die gleicheckigen 2wecke der ersten Art
25
Die gleicheckigen 2ecke der dritten Art
26
Die gleicheckigen 2ecke der vierten Art
27
Gleicheckige 2ecke der Art a 29 wenn a C bez C tt ist
28
n I 1 n 29 Gleicheckige 2ecke der Art a bez
29
n p
32
Vielecke deren Kanten das Unendlichweite enthalten Inverse Vielecke
33
Zweite Art der Entstehung der gleicheckigen Vielecke
34
Erste Art der Entstehung der gleichkantigen Vielecke Die Reziprozität
36
Gleichkantige 2wkante der Art a bez
37
Zweite Art der Entstehung der gleichkantigen Vielecke
40
Die regulären sphärischen Polygone
41
Die halbregulären sphärischen Polygone
42
Geschichtliche Bemerkungen Bückblick und Ausblick
43
Allgemeine Theorie der Vielflache 40 Das vollständige räumliche neck und wflach Diagonale Kantendiagonalpunkt und ebene Hauptdiagonalpunkt ...
44
Das einfache räumliche neck und wflach Definitionen Flächenwinkel Begriff von konvex Polarecke allgemeines und singuläres Vielflach Trigonalpo...
45
Über die Teilung des Raumes durch die Ebenen des vollständigen flaches
46
Das vollständige Vier und Fünfflach Die gewöhnlichen und aussergewöhnlichen einfachen Vier und Fünfflache
47
Einfach und mehrfach zusammenhängende berandete Flächen Definition des Querschnitts Die Grundzahl einer Fläche
49
Die geschlossene Fläche und ihre Grundzahl Zweiseitige Fläche
50
Der Satz e k + f 1 für eine einfach zusammenhängende berandete zweiseitige polyedrische Fläche
51
Die entsprechende Gleichung für eine mehrfach zusammenhängende zweiseitige berandete polyedrische Fläche
52
Vielflache mit mehrfach zusammenhängenden Einzelflächen
53
Diskontinuierliche Vielflache
54
Der Eiäersche Satz für einseitige Polyeder
56
Bas verallgemeinerte Euler sehe Theorem Lhuilier Cauchy Listing Becker
57
Jordan Möbius u a
62
Legendres Satz über die Bestimmung eines Eulerschen Polyeders durch k Stücke Gleichungen
66
Cauchys Satz über die Bestimmung eines konvexen Eulerschen Polyeders durch sein Netz
67
Das Kantengesetz von Möbius zweites Kriterium für einseitige Vielflache
68
Der Inhalt und die Oberfläche eines zweiseitigen Vielflaches
69
Beispiele zur vorstehenden Theorie Vielflache deren Oberfläche bez Inhalt Null ist Die entsprechenden Betrach tungen für einseitige Polyeder
71
Die Art A 1 eines gewöhnlichen Vielflaches
72
Die polare Reziprozität der Vielflache
73
Isomorphe und allomorphe spiegelbildlichisomorphe und autopolare Vielflache
74
das Kantengesetz in zweiter Form Reziprozität der einseitigen Vielflache
75
Beispiele zu der in Nr 65 und 66 entwickelten Theorie
76
Theorie der Eulerschen Yielflache 68 Einleitende Bemerkungen
78
Folgerungen aus dem Eulerschen Fundamentalsatze
79
Ordnung der Vielflache einer bestimmten Flächenzahl f n
80
Die Kreuzungskanten eines allgemeinen Vielflaches Ableitung der singulären Vielflache aus den allgemeinen
81
Fundamentalkonstruktion der allgemeinen Vielflache und der Trigonalpolyeder
83
Die Stammflächen eines allgemeinen Vielflaches Andere Konstruktion der allgemeinen Vielflache
86
Die Scheitelflächensysteme eines allgemeinen Vielflaches Einteilung der Vielflache in drei Klassen
89
Die autopolaren Vielflache
91
Geschichtliche Bemerkungen Mobius Cayley Poinsot Kirkman Hermes Eberhard
93
Die Kantenpolygone eines Vielflaches
99
Enthaltende reducible und enthaltene Vielflache Erweiterung eines Vielflaches
101
Die charakteristische Gleichung eines Vielflaches Definitionen verschiedener Erweiterungen
102
Stellung der weiteren Probleme
103
Normalpolygone und Normalgürtel
105
Die Gegenkantensysteme eines Vielflaches und die Bestimmung der Normalpolygone
107
Einteilung der besonderen Vielflache
121
Die regelmässigen Vielflache Ableitung und Existenzbeweis
122
Die zum regulären Vielflach gehörenden Kugeln
123
Elementare Betrachtung des Ikosaeders und Dodekaeders Metrische Relationen Reziprozität Achsensysteme
125
Zweite Ableitung der regulären Vielflache Die regulären Kugelnetze
127
Die Archimedeischen halbregulären Vielflache Ihre Ableitung
132
Allgemeine Sätze über die halbregulären Vielflache Metrische Relationen
133
Die durch Entecken aus den regulären Vielflachen abzuleitenden halbregulären
134
Die durch Entecken und Entkanten parallel den Kanten der regulären Vielflache aus diesen hervorgehenden halb regulären
136
Die Archimedeischen Vielflache Nr XI und XII
138
Das Archimedeische Prisma und Antiprisma
139
Bezeichnung und Konstruktion der gleicheckigen und der gleichflächigen Vielflache
140
Einteilung der gleicheckigen und der gleichflächigen Polyeder in Klassen Ordnungen u s w
141
Die gleicheckigen und die gleichflächigen Polyeder der ersten Hauptklasse
142
Die Polyeder der ersten Gruppe der ersten Ordnung aus der zweiten Hauptklasse
144
Die Polyeder der zweiten Gruppe der ersten Ordnung aus der zweiten Hauptklasse
146
Die Polyeder der dritten Gruppe der ersten Ordnung aus der zweiten Hauptklasse
147
Die Polyeder der zweiten Ordnung aus der zweiten Hauptklasse
149
Beziehung der gleicheckigen und der gleichflächigen Polyeder zu den Kugelnetzen
150
Weitere Bemerkungen über die Kugelnetze bes die festen gleichflächigen
152
Die Ableitungskoeffizienten der vollzähligen Polyeder der zweiten Hauptklasse
155
Geschichtliche Bemerkungen Archimedes Paciuolo Dürer Jamitzer Stifel Kepler Kästner M Hirsch Gergonne Catälan Hessel Badoureau Pitsch Hess Fed...
156
Einleitung Yon den Flächen und Ecken der Vielfache höherer Art
163
Die Art A eines Vielflaches Die Formeln von Hess Erweiterter Eulerscher Satz
164
Die Reziprozität der Vielflache höherer Art
165
Allgemeine Sätze über die regulären Vielflache höherer Art
167
Zweite Ableitung der regulären Vielflache höherer Art
169
Die regulären die Kugel mehrfach bedeckenden Netze Die Reziprozität
170
Symmetrieachsen und Ebenen Metrische Relationen
171
Die Doppelelemente eines Vielflaches höherer Art
172
Die Doppelelemente des 12eckigen Stern12Flaches und des 12flächigen Stern12Ecks
173
Die Doppelelemente des 20eckigen Stem12Flaches und des 20flächigen Stern12Ecks
174
Die Doppelelemente eines diskontinuierlichen Vielflaches
175
Abhängigkeit der Artzahl A von der Anzahl der Doppelelemente
176
Allgemeine Sätze über die gleicheckigen und die gleichflächigen Kugelnetze und die zugehörigen Polyeder höherer Art
179
Konstruktionen und Einteilung der gleicheckigen und der gleichflächigen Polyeder höherer Art
183
Die Polyeder höherer Art der ersten Hauptklasse Prismen Antiprismen u s w
184
Die gleicheckigen und die gieichflächigen Polyeder der ersten Gruppe der ersten Ordnung der zweiten Hauptklasse
185
Die gleicheckigen und die gleichflächigen Polyeder der zweiten Gruppe der ersten Ordnung der zweiten Hauptklasse
189
Die gleicheckigen und die gleichflächigen Polyeder der dritten Gruppe der ersten Ordnung der zweiten Hauptklasse
190
Die gleicheckigen und die gleichflächigen Polyeder der vierten Gruppe der ersten Ordnung der zweiten Hauptklasse
192
Die gleicheckigen und die gleichflächigen Polyeder der zweiten Gruppe der zweiten Ordnung der zweiten Hauptklasse
195
Die gleicheckigen und die gleichflächigen Polyeder der dritten Gruppe der zweiten Ordnung der zweiten Hauptklasse
198
Die gleicheckigen und die gleichflächigen Polyeder der vierten Gruppe der zweiten Ordnung der zweiten Hauptklasse
199
Die gleicheckigen und die gleichflächigen Polyeder der fünften Gruppe der zweiten Ordnung der zweiten Hauptklasse
201
Die gleicheckigen und die gleichflächigen Polyeder der sechsten Gruppe der zweiten Ordnung der zweiten Hauptklasse
202
Die gleicheckigen und zugleich gleichflächigen Polyeder höherer Art
205
Die vollständige Figur der Ebenen des Ikosaeders
206
Das 203 + 2 32flächige 603rEck der 5 Art und das ihm polare Polyeder
207
Das 203 + 2 34flächige 603Eck der 25 Art und das ihm polare Polyeder
208
Die vollständige Figur der Ebenen des Triakontaeders
209
Das 304 f 4 J 48flächige 2 6031Eck der 15 Art und das ihm polare Polyeder
210
Das 304 f 4 f 45flächige 2 603rEck der 45 Art und das ihm polare Polyeder
211
Über diskontinuierliche Polyeder welche konzentrische Anordnungen regulärer Polyeder erster oder höherer Art sind
212
Einteilung der nichtkonvexen Polyeder in zwei Abteilungen nach dem Werte von A
213
Mchtkonvexe zugleich gleicheckige und gleichflächige Polyeder der ersten Abteilung
214
Mchtkonvexe zugleich gleicheckige und gleichflächige Polyeder der zweiten Abteilung
215
Über eine besondere Gruppe einseitiger gleicheckiger und gleichflächiger Polyeder
217
G Jordans Einteilung der Euler sehen Polyeder nach ihrer Symmetrie
218
Von den Bingpolyedem
220

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Common terms and phrases

Popular passages

Page 130 - Das Feuer trete als Tetraeder auf, die Luft bestehe aus Oktaedern, das Wasser aus Ikosaedern, die Erde aus Würfeln, und da noch eine fünfte Gestaltung möglich war, so habe Gott diese, das Pentagondodekaeder benutzt, um als Umriß des Weltganzen zu dienen4). Diese fünf Körper heißen dem entsprechend kosmische Körper als zum Kosmos in notwendiger Beziehung stehend.
Page 21 - De resolutions alyebraica aeqiiationis x257 = 1, sive de divisione circuli per bisectionem anguli septies repetitam in partes 257 inter se aequales commentatio coronata.
Page 68 - Perimeters, und dieser ist gegeben, sobald nur von einer Kante die Richtung gegeben ist. Dem eben ausgesprochenen, für jedes Vieleck gültigen und von selbst verständlichen Satze kann man in Bezug auf Polyeder den nachstehenden Satz gegenüberstellen: Den Perimetern der ein Polyeder umgrenzenden Flächen können solche Sinne beigelegt werden, dass für jede Kante des Polyeders die zwei Richtungen, welche derselben, als der gemeinschaftlichen Kante zweier Polyederflächen, in Folge der Sinne dieser...
Page 140 - HESS, Sitzungsber. d. Gesellsch. zur Beförderung d. gesammten Naturw. zu Marburg aus den Jahren 1872, 1875, 1877, 1878, 1879, 1880, 1882. ' EDMUND HESS, Ueber gleicheckige und gleichkantige Polygone.
Page 12 - ... de Mairan et relatif aux octaèdres inscrits dans un cube donné (p. 45). Q 4 b. BRUNEL. Quelques remarques sur le saut du cavalier sur l'échiquier (p. 53). Q 4 a. BRUNEL. Sur les configurations régulières tracées sur une surface de genre p (p. 57—58)]. Tome IV, cahier 2, 1894. K 9 a. BRUNEL. Note sur le nombre de points doubles que peut présenter le périmètre d'un polygone. L'auteur, après avoir fait observer que la proposition de Baltzer sur la détermination du nombre possible de...
Page 205 - Konstruktionsmethode darin, dass man die Grenzflächen der gleichflächigen Polyeder der ersten Art erweitert und diejenigen Schnittpunkte dieser Ebenen aufsucht, welche auf einer Kugel so wie die Ecken eines gleicheckigen Polyeders erster Art liegen.
Page 68 - Einzelflächen übergeht, die nicht mehr eben sind, aber aus ebenen Teilen bestehen, und deren Winkel an den übrigbleibenden Kanten sämtlich variieren. Für diese neue Fläche gilt noch, wenn nicht gerade sämtliche Flächen sich in eine einzige vereinigen, was natürlich nicht in Betracht kommt, der E ul er sehe Satz.
Page 59 - In omni solido hedris planis incluso aggregatum ex numero angulorum solidorum et ex numero hedrarum binario excedit numerum acierum".
Page 53 - Durch das Anlegen eines Querschnittes wird aber immer eine Kante mehr erzeugt, als Ecken hinzukommen. Führt man den Querschnitt nämlich zwischen zwei Ecken gerade, so tritt eine Kante, aber keine Ecke hinzu.
Page 162 - In allgemeinster Form ist diese Ableitung hier zum ersten Male gegeben. Die früheren Autoren begnügten sich mit sehr speciellen Fällen vereinzelter symmetrischer Polyeder (»halbregelmässige«, »archimedische«, »isosceles« etc.), die ich als »besondere

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