K désignant un nombre entier quelconque, alors les valeurs de x, y, 5, déduites des formules (26), satisferaient à la suivante si l'on choisissait m, n, r de manière à vérifier la formule Donc, si l'on obtient diverses solutions de l'équation (35), à chacune d'elles correspondra une nouvelle solution de l'équation (34). Si l'on veut parvenir à toutes les solutions possibles de l'équation (22), il suffira de remplacer les équations (23) par la seule formule Si, dans cette dernière, on substitue pour u, v, w leurs valeurs tirées des équations (4), elle deviendra On pourra donc prendre a = b = 1, c = 0; et, comme on aura d'ailleurs, dans le cas présent, A, B1, la formule (37) se trouvera réduite à Si l'on fait, pour abréger, n-m=s, on aura simplement rets désignant deux quantités entières choisies arbitrairement. La formule (40) comprend toutes les solutions possibles de l'équation (38). Si l'on suppose en particulier C = 30, l'équation (38) deviendra Si l'on prenait au contraire r=1, S10, on trouverait Effectivement on satisfait à l'équation (41) en supposant les inconnues x, y, respectivement proportionnelles, soit aux trois nombres 29, 31 et 2, soit aux trois quantités - 7, 13 et 2. (47) Revenons maintenant aux formules (13). Si l'on y substitue à u, v, w leurs valeurs tirées des équations (4), alors, en faisant (43) S F(m, n,r) Am2 + Bn2 + Cr2+Dar+ Erm + Fmn, (44) t=mÞ(a, b, c) + n X(a, b, c) +r¥(a, b, c) = a Þ(m, n,r) + b X (m, n, r) + c¥ (m, n,r) =2A am + 2 B bn÷2 Ccr+D (br+cn) +E (cm+ar) + F (an+bm), on trouvera (45) x=as mt, ybsnt, 3 csil. Si l'on substituait, au contraire, dans les formules (13), les valeurs de u, v, w tirées des équations (5), alors, en posant — [( 4 BC — D2 ) ( br — en ) + ( DE — 2 CF) (cm — ar ) + ( FD − 2 BE) (an — bm)], yb(s-S)-nt — [(DE — 2 CF) (br — en ) + (4 CA — E2 ) (cm — ar) + (EF —[(FD — 2 BE ) ( br — en ) + ( EF — 2 AD) (cm — ar)+(4AB 2 AD) (an - bm)], F2 ) ( an —— bm)]. Il est facile de s'assurer que les valeurs de x, y, fournies par les équations (45) ou (47) sont exactes. En effet, si l'on substitue ces valeurs dans le polynome qui constitue le premier membre de l'équation (1), on trouvera, en partant des formules (45), (48) 2 Ax2 + By2+ C =2 + Dy3+ E 3x + Fxy (A a2 + B b2 + Ce2 + D be + Eca + Fab) s2, et, en partant des formules (47), Ax2 + By2+C 32 + Dy3+ E=x+ Fxy = (Aa2 + B b2 + Cc2 + Dbc + Eca + Fab) (s + S )2. Donc, si a, b, c vérifient l'équation (50) A a2 + Bb2 + Cc2 + D bc + Eca + Fab =0, x, y, vérifieront l'équation (1). Si a, b, c, au lieu de vérifier l'équation (50), étaient choisis de manière que l'on eùt (51) Aa2+ Bb Cc2 + D bc + Eca + FabK, K désignant un nombre entier quelconque, alors les valeurs de x, y, ≈ déduites des formules (26) satisferaient à la suivante (52) Ax2 + By2+ C =2 + Dys + Esx+Fxy = K 12, la valeur de t étant déterminée par l'équation (44). Par conséquent elles satisferaient à la formule (53) Ax2+By2+ Cz2 + Dy3+ Ezx + Fxy = K, si l'on choisissait m, n, r de manière à vérifier l'équation (54) Am2 + Bn2 + Cr2 + Dnr + Erm + Fmn = 1. Done, si l'on obtient diverses solutions de l'équation (54), à chacune d'elles correspondra une nouvelle solution de l'équation (53). Si l'on substituait les valeurs de u, v, w, tirées des équations (4), dans la formule (14), alors on trouverait Cette dernière formule, dans laquelle m, n, r désignent des quantités entières choisies arbitrairement, et s, t deux polynômes déterminés par les équations (43), (44), comprend toutes les solutions possibles de l'équation (1). On ne doit pas même excepter la solution que x = a, y = b, 3=C l'on déduit de la formule (55), en choisissant m, n, r de manière à vérifier l'équation to ou (56) m ( 2 A a + F b + Ec) + n (Fa + 2 B b + Dc) + r (Ea + D b + 2Cc) - - 0. $ V. Sur la résolution en nombres entiers de l'équation homogène du troisième degré entre trois variables. de laquelle on veut en déduire d'autres. On aura, dans ce cas, en adoptant toujours les notations du § III, (3) (4) ( F(x, y, z) = Ax3 + By3 + C3 + Dyz2 + Ezx2 +Fxy2+ Gzy2+ Hæz2 + lyx2 + Kxyz, ☀ (x, y, z) 3 Ax2+ 2Ex+21xу+Fy2+ H+Kyz, Donc, les valeurs générales de u, v, w pourront être déterminées, non seulement par les formules ,3 W = I p3 — (Ku + Ev) w2 + (Du + 2 Hv) vw — 3Cu2v, |
